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Chapter 12 Equilibrium and Elasticity 平衡与弹性

物体平衡条件

合力等于 \(0\)，合力矩等于 \(0\)。

\[F_{net}=0,\ \tau_{net}=0 \]

注：

当 \(F_{net}=0\)，\(\exists\ p\) 满足 \(\tau_{net, p}=0\) 等价于 \(\forall\ p,\ \tau_{net, p}=0\)。

证明：

假设 \(\tau_{net,p}=\sum{F_i\times r_i}=0\)。

\(\tau_{net, p'}=\sum{F_i\times(r_i+p-p')}=\tau_{net, p}+(\sum{F_i})\times (p-p')=\tau_{net, p}\)。

review:

\(\tau_{net, p}=\sum F_i\times (r_i-r_p)\)

重心

\[{r_{cog}}\times (\sum m_ig_i)=\sum r_i\times(m_ig_i) \]

弹性 Elasticity

\[\text{Stress}=\text{modulus}\times \text{strain} \]

\(\text{strain}\) 表示物体受力方向的相对形变量。通常写成

\[\frac{\Delta x}{L} \]

理解：物体微小形变形变，内部受力处处相等，单位长度形变量相等。

形式：拉伸 \(\text{strain}=\Delta L/L\)，剪切 \(\text{strain}=\Delta x/L\)，水压 \(\text{strain}=\Delta V/V\)。

Chapter 13 Gravitation 引力

引力公式

\[F=\frac{Gm_1m_2}{r^2} \]

表现重力

在地球表面的物体有指向自转轴心 \(p\) 的加速度 \(a_p\)。

记引力加速度为 \(a_G\)。以地表为参考系，自由落体的物体加速度为

\[g=a_G-a_p \]

\(a_p<<a_g\)，故一般计算可以近似。

壳理论 shell theorem

设有球壳半径为 \(R\)，质量为 \(M\)。

距离球壳中心 \(d\) 的物体 \(m\) 受引力：

\[F= \begin{cases} 0 & d<R \\ \frac{GMm}{d^2} & d>R \end{cases} \]

引力势能

引力是保守力。

\[U_y-U_x=\int_{x}^y \frac{GmM}{r^2}dr \]

\[U=\int \frac{GmM}{r^2}dr=-\frac{GMm}{r} \]

对于粒子系统，

\[U=\sum_{i,j}-\frac{Gm_im_j}{r_{i,j}} \]

合力做功等于力做功的和。

逃逸速度：

\[U_r+K_r=U_{\inf}+K_{\inf} \]

令 \(K_{\inf}=0\)，\(K_r=U_{\inf}-U_r=\frac{GmM}{r}\)

\[v_{\text{escape}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

开普勒行星运动定律

1. 行星运动呈椭圆轨道

2. 行星与太阳连线单位时间扫过面积相等。

证明：

\[\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2w \]

考虑行星角动量：

\[L=r\times P \]

\[\begin{align*} |L|&=r|P_{\perp}|=r(mrw) \\ r^2w&= |L|/m \end{align*} \]

得到 \(\frac{dA}{dt}=\frac{|L|}{2m}\)。有角动量守恒证毕。

3. 周期定律

\[T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3 \]

椭圆行星轨道的能量：

令引力势能 \(U_r=\frac{-GMm}r{}\)，有

\[E=K+U=\frac{-GMm}{2a} \]

Chapter 15 Oscillation

简谐运动 Simple Harmonic Motion (SHM)

\[\begin{align*} F &=-kx \\ \frac{d^2x}{dt^2} &=-\frac{k}{m}x \end{align*} \]

解微分方程得

\[x(t)=C_1e^{i(\sqrt{\frac{k}{m}}t+C_2)}=A\sin(wt+\phi) \]

\(w\) 为角频率，\(T=2\pi/w\)。有

\[\begin{align*} w&=\sqrt{\frac{k}{m}} \\ T&=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \end{align*} \]

弹性势能：

\[U_x=\int_0^x kxdx=\frac{1}{2}kx^2 \]

扭摆 Angular SHM –Torsion Pendulum：

扭杆扭矩 \(\tau=-\kappa\theta\)。

有角加速度 \(\alpha=\tau/I=-\frac{\kappa}{I}\theta\)，形式与线性 SHM 完全相同，故 \(w=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}\)。

单摆 Simple Pendulum：

\[\alpha=-\frac{g}{L}\sin\theta \]

小角近似 \(\sin\theta \sim \theta\) 转化成线性 SHM。

阻尼振动 Damped SHM

\[F_d=-bv \]

\[ma+bv+kx=0 \]

解微分方程可以得到：

\[x(t)=x_me^{-bt/2m}cos(w't+\phi) \]

\[w'=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}} \]

\[E(t) \approx \frac{1}{2}kx^2_me^{-bt/m} \]

受迫振动

\[w=w_d \]

\(w_d\to \sqrt{\frac{k}{m}}\) 时振幅大。

Chapter 16 Wave 1 波 1

考虑函数 \(f(x,t)\) 随时间变化保持形状，

\[f(x\pm v\Delta t, t)=f(x,t+\Delta t) \\ v\frac{f(x\pm v\Delta t, t)}{v\Delta t}=\frac{f(x,t+\Delta t)}{\Delta t} \\ \]

得到

\[v\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial t} \text\ \text{or}\ v\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}=0 \]

或者（继续求导）

\[v^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \]

即标准波动方程。

绳上的小振幅波是正弦波。

对绳受力分析可以得到 \(v=\sqrt{\frac{\tau}{\mu}}\)。

\(\tau\) 为绳拉力，\(\mu\) 为线密度。

波性质

1. 超位置

\[y'(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t) \]

2. 干涉（两列波频率相同的正弦波）

   （1）同向。\(y_m\sin(kx-wt)+y_m\sin(kx-wt+\phi)=2y_m\cos(\frac{1}{2}\phi)\sin(kx-wt+\frac{1}{2}\phi)\)

   （2）异向。\(y_m\sin(kx-wt)+y_m\sin(kx+wt)=2y_m\sin(kx)\cos(wt)\)（驻波）

绳/腔体反射形成驻波

端活动/开口则端为波腹，端固定/闭口则端为波节。

\[\frac{1}{2}n\lambda=L\ \text{or}\ (\frac{1}{2}n-\frac{1}{4})n\lambda=L \]

功率

\[P=v_y \cdot \tau \]

推导得 \(\overline{P}=\frac{1}{2}\mu vw^2y_m^2\)

Chapter 17 Wave 2 波 2 - 声波

流体声速 \(v=\sqrt{\frac{B}{\rho}}\)，其中

\[B=-\frac{\Delta p}{\Delta V/V} \]

即 Bulk modulus，体积弹性度。

\(\rho\) 为流体常态下密度。

声波波动方程：

\[s(x, t)=s_m\cos(kx-wt) \]

声压：

\[\Delta p=-B\frac{\partial s}{\partial x} \]

\(\Delta p_m=Bks_m=v\rho ws_m\)

声音功率和声强

设声音传播球面表面积为 \(A\)。

\[p=ABkws_m^2\sin^2(kx-wt) \\ \overline p=\frac{1}{2}p_m \]

声强

\[I=\frac{P_{avg}}{A}=\frac{1}{2}\rho v w^2 s_m^2 \]

Interference: Beats

多普勒效应 Doppler Effect

以声波在 发出者（s） 和 观测者（o） 之间的传播方向为速度正方向。

\(\lambda_s=\lambda-v_s/f_s\)

\(T_o=\lambda_s/(v-v_o)\)

\[f_o=\frac{v-v_o}{\lambda_s}=\frac{v-v_o}{v/f_s-v_s/f_s}=\frac{v-v_o}{v-v_s}f_s \]

Chapter 18 Temperature, Heat & 1st Law of Thermodynamics

热力学第零定律 Zeroth Law of Thermodynamics

热平衡的物体温度相等。

固体和液体的热膨胀

线性：

\[\Delta L=L\alpha \Delta T \]

\[L\to (1+\alpha\Delta T)^2L \]

\[L\to (1+2\alpha\Delta T)L \]

体积：

\[\Delta V=V\beta\Delta T \]

考虑 \(V\propto L^3\)，\((1+a\Delta T)^3 \sim 1+3\alpha\Delta T\)

有 \(\beta=3\alpha\)

热传导功率

\[P_{\text{cond}}=\frac{dQ}{dt}=kA\frac{T_H-T_C}{L}=\frac{\Delta T}{R} \]

\(A\) 为导体横截面积，\(L\) 为导体长度。

热阻 \(R=L/kA\)。

并联导体：

\[P_{\text{cond}}=\sum_i \frac{\Delta T}{R_i} =\frac{\Delta T}{R} \\ \frac{1}{R}=\sum_i \frac{1}{R_i} \]

串联导体：

\[P_{\text{cond}}=\frac{\Delta T}{\sum_i R_i} \\ R=\sum_i R_i \]

热辐射

放热功率

\[P_{rad}=\sigma\varepsilon AT^4 \]

吸热功率

\[P_{abs}=\sigma\varepsilon AT_{env}^4 \]

净功率

\[P_{net}=\sigma\varepsilon A(T_{env}^4-T^4) \]

其中，

\(\varepsilon\) 表示发射率，\(A\) 表示辐射表面积。

加热过程

物相不变，

\[Q=C\Delta T=cm\Delta T \]

相变过程：

\[Q=Lm \]

First Law of Thermodynamics 热力学第一定律

系统内能的变化量等于传入系统的热量减去系统对外所做的功。

\[\Delta E_{int}=Q-W \]

Chapter 19 The Kinetic Theory of Gases

理想气体方程

\[pV=nRT=NkT \]

\(n\) 为物质的量（\(mol\)），\(N\) 为粒子个数。其中 \(N=N_An,\ k=\frac{R}{N_A}\)。

\(R\) 是理想气体常数，\(k\) 是玻尔兹曼常数。

理想气体是粒子除了碰撞外无相互作用的气体。低密度气体可以近似为理想气体。

气体容器受力

单个粒子，单个方向：

\[\Delta p_x=-2mv_x\\ \Delta t=\frac{2L}{v_x} \]

其中 \(\Delta p_x\) 为动量变化量，\(\Delta t\) 为两次撞击同一墙面的时间间隔。

\[F=\frac{|\Delta p_x|}{\Delta t}=\frac{mv_x^2}{L} \]

考虑 \(x\) 方向的所有粒子：

\[F_s=N\frac{m}{L}v_x^2=\frac{nM}{3L}{(v^2)}_{\text{avg}} \]

表面压强：

\[P=\frac{F_s}{A}=\frac{nM}{3V}v_{\text{rms}}^2 \]

其中方均根速率：

\[v_{\text{rms}}=\sqrt{{(v^2)}_{\text{avg}}} \]

联立理想气体方程得：\(v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\)。

气体分子平均动能 \(K_{\text{avg}}=\frac{1}{2}\frac{M}{N_A}v_{\text{rms}}^2=\frac{3}{2}kT\)。

气体速度分布概率密度

Maxwell 速度分布律

\[P(v)=4\pi (\frac{M}{2\pi RT})^{\frac{3}{2}}v^2e^{\frac{-Mv^2}{2RT}} \]

平均速度

\[v_{\text{avg}}=\int_{0}^{\infty}vP(v)=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} \]

方均根速率 Mean square root speed

\[v_{\text{rms}}=\sqrt{\int_0^\infty v^2P(v)}=\sqrt{\frac{3RT}{M}} \]

最大概率速率

\[\frac{dP(v)}{dv}=0,\ v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M}} \]

气体分子撞击过程

最小自由路径 Mean free path：

\[\lambda=\frac{ \text{length of path during } \Delta t }{ \text{number of collisions in } \Delta t }=\frac{v_{\text{avg} } \Delta t}{v_{\text{rel} } \Delta t \cdot \pi d^{2} \cdot(N / V)}\\ \Rightarrow \lambda=\frac{1}{\sqrt{2} \pi d^{2} \cdot(N / V)} \]

其中 \(v_{\text{rel}}\) 为粒子平均相对速度，根据 Maxwell 速度分布律推导，\(v_{\text{rel}}=\sqrt{2}v_{\text{avg}}\)

故有单个粒子平均碰撞时间间隔：

\[t=\frac{\lambda}{v_\text{avg}} \]

摩尔热容

\(C_V\) 为定容摩尔热容，\(C_{P}\) 为定压摩尔热容。

定容热过程：

\[Q=\Delta E_{int}=nC_V\Delta T \]

定压热过程：

\[\begin{align*} Q=nC_P\Delta T&=\Delta E_{int}+W \\ &=nC_V\Delta T+P\Delta V \\ &=nC_V\Delta T+nR\Delta T\\ \end{align*} \]

故 \(C_P=C_V+R\)

自由度和定容摩尔热容

只有平动：

\[E_{int}=NK_{\text{avg}}=N\frac{3}{2}kT=n\frac{3}{2}RT \]

\[C_V=\frac{3}{2}R \]

能量均分理论：气体分子会将内能均分给每个自由度（平动和旋转），故

\[C_V=\frac{f}{2}R \]

\(f\)：单原子：3，双原子：5，正四面体型：6

绝热过程（Adiabatic）的松柏公式

\[pV^{\gamma}=C \]

其中 \(\gamma=\frac{C_P}{C_V}\)

过程名词总结

恒容 Isochoric

恒压 Isobaric

恒温 Isothermal

绝热 Adiabatic

封闭系统 Closed System

孤立系统 Isolated System