集训游记 7.19-7.20 图论

最小生成树 MST

P5994 [PA2014] Kuglarz

考虑连边 \(i,j\) 表示花费代价知道区间 \([i,j)\) 的奇偶性．

容易发现 \(i,j\) 联通就可以发现表示出 \([i,j)\)．

考虑最终局面，一定要推出每个 \([i,i+1)\) 的奇偶性．要求每对 \([i,i+1)\) 联通．即整张图联通．

最小生成树

k条白边最小生成树

二分附加权．

注意最后的方案，MST 上可能存在代价为 \(w\) 的若干条边可能是白边可能是黑边．不好判断．

考虑优先选白边．在白边数量 \(\ge k\) 的时候记录二分答案．

• 合法答案存在于白边 \(\ge k\) 的时候．
• 保证白边 \(\ge k\) 的时候，附加权越大是一定能构造出合法答案．

树的重心

定义

• 到所有点的带权距离之和最小的点（定义一）
• 使得最大子树大小最小的点（定义二）

如何从定义一推出定义二呢？一个点若存在一个大小大于 \(\displaystyle \frac{n}{2}\) 的子树，朝那个子树走一定会使距离和变得更小．

性质

• 两个树相连，新重心在原来的两棵树重心的路径上．

无向图 DFS 树

从 \(u\) 开始搜索，遇到没有访问过的点就当自己的儿子 \((1)\)，并继续搜索．否则不管 \((2)\)．

\((1)\) 叫做树边．
\((2)\) 叫做非树边（返祖边）．

无向图 DFS 树有一个很好的性质：一个点子树中的点互相没有边．

可以解决一些奇怪的题目．

[BZOJ4878]挑战NP-Hard

建出任一棵 DFS 树，若树深度 \(> k\)，解决 subtask 2；否则每层染不同的颜色，解决 subtask 1．

拓扑排序

最短路

严格次短路

结论：严格次短路上一定存在一条边，使得它不属于原来的 任何一条最短路．枚举次短的边是哪一条即可．
考虑最短路 DAG，若严格次短路经过的全部都是属于某一条最短路的边，它是最短路 DAG 的一条路径，它就是最短路！

换一种严谨的证明方式，记 \(D_i\) 表示 \(1 \rightarrow i\) 的最短路长度．假设一条严格次短路 \(Path\) 的所有边都存在于某一条最短路，则有 \(\forall e(u \rightarrow v,w) \in Path,D_v=D_u+w\)．那么顺序考虑 \(Path\) 中的每一个点，最后可以发现 \(\displaystyle \sum_{e\in Path} w=D_n\)．

01 BFS

和我 基础图论 中的内容不谋而和．

当然学到了一点奇技淫巧．比如若存在 \(k\) 种边权，然后 \(k\) 很小，存在一种很轻便的空间复杂度和最短路 最长长度相关 解题方式：维护堆可以桶排开 最长最短路长度 个 vector．然后每次遍历最短路长度最短的点即可．

同余最短路

比较神仙的．

优化完全背包判定．

给定数集 \(S=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}\)．每次需要判定一个数 \(b\) 是否可以被若干 \(S\) 中的元素的和表示出．每个元素可以使用多次．

将 \(S\) 其中任一个元素 \(a_i\) 拎出来，我们只需要知道在 \(\bmod\; a_i\) 剩余系下每个剩余类最小被凑出来的数是多少即可．

其实我感觉根本不需要证明．看上去就十分正确！

我们选择 \(S\) 中最小的数拎出来肯定最好（剩余系大小比较小）．

话说 Alex_Wei 是不是有一个同余最短路的转圈技巧，没学过．

优化构图

很多时候最短路模型存在边数为枚举点对数量级的构图方式（近似完全图），边数近似 \(|V|^2\)．

然后我们就需要 优化构图．

有两种一般的思路：

1. 存在可以被替代（被表达）的无用边．
   比如经典的切比雪夫距离模型：点对 \((i,j)\) 的距离为 \(\min(|x_i-x_j|, |y_i-y_j|)\)．那么我们只需要按 \(x\) 排序后顺序连接相邻的边，按 \(y\) 排序连接相邻的边．因为若 \(x_i,x_j\) 中间存在 \(x_k\)，那么距离 \(|x_i-x_j|\) 可以被 \(|x_i-x_k|+|x_k-x_j|\) 表示．对于 \(y\) 同理．
   
   看似简单，实则有深意！有技巧！
   
   构造表达无用边的方式十分有趣．看一道例题：
   给定图 \(G(V,E)\)，除了原有边集 \(E\) 以外，可以额外花费 \(u \oplus v\) 的代价从 \(u\) 走到 \(v\)．求 \(1\) 到 \(n\) 的最短路．
   
   我们考虑转化 \(u \oplus v\) 的代价．其实可以看成 \(u\) 反转若干二进制位的数字．对于一个数，我们不妨只考虑反转每一个二进制位的代价．那么 \(u \rightarrow v\) 的代价可以表达成一条路径（先反转其中一位，然后得到新的数字，再反转另一位. . .）．

2. 从一个点出发的联边满足某种相同约束．
   比如 \(u\) 向区间 \([l,r]\) 建边，可以使用线段树优化建边．
   据老师说一般数据结构（线段树，平衡树）优化构图无法维护 Lazy_Tag．

网络流

Dinic

复杂度：一般图 \(O(V^2E)\)，二分图 \(O(VE^{\frac{1}{2}})\)．

像 \(NOI\) 这样的赛事网络流题目一定大概存在靠谱而保守的数据规模．用网络流水 \(1e5\) 还是量力而行吧！

网络流优化构图

其实和一般建模的优化构图还是有些不一样的．一般考虑

• 度数为 \(2\) 的点去掉
• 两个点之间重复的边优化成一条

问题杂技

HackerRank - Unique Colors

考虑对于每种颜色分开考虑．

对于每一种颜色，它会把整棵树分成若干个联通块：全部为颜色 \(c\) 的和不含颜色 \(c\) 的．

分开考虑：

• 对于颜色为 \(c\) 的点，每一条经过它的路径都存在颜色 \(c\)．这样的路径一共有 \(n\) 条．

• 对于颜色不是 \(c\) 的点 \(u\)，考虑其不经过颜色 \(c\) 的路径个数：要保证路径端点在同一个联通块中．那么从 \(u\) 出发经过颜色 \(c\) 的路径个数即 \(n-联通块大小\)．

每一个点的答案可以这样算：

\[\begin{aligned} ans_u&=n+\sum_{c\neq c_u} n-|S_{c}(u \in S_c)|\\ &=n*number\ of\ col+\sum_{c \neq c_u} |S_{c}(u \in S_c)| \end{aligned} \]

树上差分即可．