Day7

离散化（Discretization）是算法竞赛中一个非常重要的技巧。它的核心思想是：当你在意的是数据之间的“相对大小（排名）”而不是“绝对数值”时，把大范围、稀疏的数据映射到小范围、紧凑的区间内。

以下从三个维度为你细讲：

1. 为什么要离散化？（痛点所在）

假设有一个问题：给你 \(n=10^5\) 个数，让你用树状数组统计一些信息。
如果这些数的大小范围是：

• 情况 A： 数值在 \(1\) 到 \(10^5\) 之间。直接开 int tree[100005]，完美。
• 情况 B： 数值在 \(1\) 到 \(10^9\) 之间。你无法开出一个 int tree[1000000005] 的数组，内存会直接炸掉（MLE）。
• 情况 C： 数值包含负数，如 \(-10^9\) 到 \(10^9\)。数组下标不能为负，树状数组直接瘫痪。

矛盾点： 树状数组（和线段树）的性能和空间是随数值范围（值域）增长的，而我们的内存是有限的。
突破口： 只有 \(10^5\) 个数。虽然数值很大，但如果把它们按从小到大排个名，第 1 小、第 2 小……第 \(10^5\) 小。这个“排名”的范围只有 \([1, 10^5]\)。

2. 离散化的核心逻辑

离散化就像是给这组数“发号码牌”。

例子：
原数组 \(A = [100, 5, 20000, 5, 999999]\)

1. 去重排序：得到有序序列 \(L = [5, 100, 20000, 999999]\)
2. 映射（发牌）：
   • 数值 \(5\) \(\to\) 排名 \(1\)
   • 数值 \(100\) \(\to\) 排名 \(2\)
   • 数值 \(20000\) \(\to\) 排名 \(3\)
   • 数值 \(999999\) \(\to\) 排名 \(4\)
3. 替换：原数组 \(A\) 变成了 \(A' = [2, 1, 3, 1, 4]\)

观察： \(A'\) 中数字的相对大小关系和 \(A\) 完全一致（比如 \(A[0] > A[1]\)，对应的 \(A'[0] > A'[1]\) 依然成立）。现在我们只需要一个大小为 \(4\) 的树状数组就能处理原本需要 \(10^6\) 空间的逻辑。

3. 代码实现细节

在你提供的代码中：

for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]), lsh[i] = a[i]; // 1. 复制一份到离散化数组
sort(lsh+1, lsh+n+1);                                     // 2. 排序
// unique(lsh+1, lsh+n+1);                                // (可选) 去重
for(int i=1;i<=n;i++) 
    a[i] = lower_bound(lsh+1, lsh+n+1, a[i]) - lsh;       // 3. 查找排名并替换

• sort：确定谁大谁小。
• unique：如果你希望相同的数字对应同一个排名，就需要去重。在求逆序对时，如果不对相同元素去重，lower_bound 也会让相同的数找到相同的排名（第一个出现的位置），逻辑上也是通的。
• lower_bound：这是在有序数组中找“排名”的最快方法（二分查找），复杂度 \(O(\log n)\)。

4. 什么时候需要离散化？

当你看到以下特征时，就要考虑离散化：

1. 空间限制：数组下标需要用到题目给出的数值，但数值范围（如 \(10^9\)）远大于数组能开的大小。
2. 性质只关乎大小：题目只关心 \(a_i\) 是否大于 \(a_j\)，或者关心 \(a_i\) 在所有数中的排名（如：逆序对、求第 \(K\) 大、统计比当前数小的数有多少个）。
3. 静态数据：离散化通常针对初始就给定的数据。如果是动态增加全新的、范围极大的数值，离散化就比较难做，通常需要改用动态开点线段树或平衡树。

总结

离散化就是把“稀疏的大值域”压缩成“连续的紧凑值域”。它是为了在不改变元素相对关系的前提下，让数据能够适配那些“以数值为下标”的数据结构（如树状数组）。

include<bits/stdc++.h>

define lowbit(x) x & (-x)

define int long long

using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 10;
int n,a[maxn],sum[maxn],lsh[maxn];
void add(int x,int y)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
sum[i] += y;
return ;
}
int query(int x)
{
int ans = 0;
for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans += sum[i];
return ans;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),lsh[i] = a[i];
sort(lsh+1,lsh+n+1);
//unique(lsh+1,lsh+n+1);//如有需要可判重
for(int i=1;i<=n;i++) a[i] = lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
int ans = 0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
add(a[i],1);
ans += i-query(a[i]);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}根据我的代码改