完全平方和的推广

平方和公式

\[(\sum_{i=1}^n A_i)^2 = \sum_{i=1}^n A_i^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} A_i A_j \]

核心是完全平方公式的推广，用“多项式展开逻辑”即可理解。

1. 从简单到复杂推导

（1）2个数的情况（完全平方公式）

\[(A_1 + A_2)^2 = A_1^2 + 2A_1A_2 + A_2^2 \]

• 平方项：\(A_1^2、A_2^2\)（对应 \(\sum_{i=1}^2 A_i^2)\)
• 交叉项：\(2A_1A_2\)（对应 \(2\sum_{1 \leq i < j \leq 2} A_iA_j)\)

（2）3个数的情况

\[(A_1 + A_2 + A_3)^2 = (A_1 + A_2 + A_3)(A_1 + A_2 + A_3) \]

展开后分两类项：

① 自身相乘：\(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 = \sum_{i=1}^3 A_i^2\)
② 不同数相乘：$$A_1A_2 + A_1A_3 + A_2A_1 + A_2A_3 + A_3A_1 + A_3A_2 = 2(A_1A_2 + A_1A_3 + A_2A_3) = 2\sum_{1 \leq i < j \leq 3} A_iA_j$$

（3）推广到n个数

$(\sum_{i=1}^n A_i)^2 = \sum_{i=1}^n A_i^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} A_iA_j$

（本质：多项式展开后，平方项唯一，交叉项成对出现，系数为2）

2. 核心记忆点

• 本质：多项式乘法“不重不漏”展开结果
• 关键：交叉项成对出现，系数为2
• 用途：转化“两两乘积和”为“总和平方-平方和”，简化计算