D146【模板】Kruskal 重构树 U201076 [Bzoj3732] Network

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Kruskal 重构树

问题：无向图，n 个点，m 条带权边，q 次询问，每次询问：从 x 走到 y 的所有路径上最大边权的最小值。

构建

1. 并查集初始时，$n$ 个节点各自独立成一个集合

2. 对无向图跑 Kruskal，从小到大选边，每次选边设为 $(x,y,w)$，做以下操作：

（1）新建一个节点 $p$，点权等于选边的边权 $w$

（2）将 $x,y$ 的根节点均指向新建点 $p$，合并成一个集合（并查集操作）

（3）将 $x,y$ 的根节点均与点 $p$ 连无向边（建重构树）

在进行 $n-1$ 轮之后，得到一棵恰有 $n$ 个叶子的二叉树，同时每个非叶子节点恰好有两个儿子，这棵树就叫 Kruskal 重构树

应用

1. 求原图上从 $x$ 到 $y$ 所有路径上最大边权的最小值

　方法：将边权升序排序，则原图上从 $x$ 到 $y$ 所有路径上最大边权的最小值 $=$ Kruskal 重构树上 $LCA(x,y)$ 的权值

　例如：原图 $1,2$ 两点之间的简单路径有 $1-2$ 和 $1-3-2$，最大边权的最小值为 $2$，等于节点 $6$ 的点权

　证明：原图 $x$ 到 $y$ 所有路径上最大边权的最小值 $=$ 最小生成树上 $x$ 到 $y$ 的路径上的边权最大值，否则与最小生成树矛盾

　而这个边权最大值在选边时，恰好赋值给了新建点（即 $LCA(x,y)$）的权值

2. 求原图上从 $x$ 出发只经过边权 $\le val$ 的边能到达的节点数

    方法：将边权升序排序，在 Kruskal 重构树上从 $x$ 做树上倍增，找到点权 $\le val$ 的节点 $p$，则答案 $=p$ 子树内的叶子数-1

    例如：原图上从 $1$ 出发只经过边权 $\le 3$ 的边能到达的节点数为 $2$，即重构树节点 $6$ 的子树内的叶子数-1

　从叶到根的点权是升序的，类似大根堆

3. 求原图上从 $x$ 到 $y$ 所有路径上最小边权的最大值

    方法：将边权降序排序，则原图 $x$ 到 $y$ 所有路径上最小边权的最大值 $=$ Kruskal 重构树上 $LCA(x,y)$ 的权值

    注意：跑最大生成树选边，做 Kruskal 重构树，如图

4. 求原图上从 $x$ 出发只经过边权 $\ge val$ 的边能到达的节点数

    从叶到根的点权是降序的，类似小根堆

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U201076 [Bzoj3732] Network - 洛谷

// Kruskal 重构树 O(MlogM+NlogN)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=30005,M=60005; //重构树 点数=2N,边数=4N
int idx,h[N],to[M],ne[M];
void add(int u,int v){
  to[++idx]=v;ne[idx]=h[u];h[u]=idx;
  to[++idx]=u;ne[idx]=h[v];h[v]=idx;
}
int n,m,q,p,val[N]; //val新建点点权
struct E{int x,y,w;}e[M]; //原图边
int pa[N]; //并查集数组
int dep[N],fa[N][21]; //树上倍增数组

int find(int x){ //并查集查找
  return pa[x]==x?x:pa[x]=find(pa[x]);
}
void kruskal(){
  for(int i=1;i<=n;++i) pa[i]=i;
  sort(e+1,e+1+m,[&](E a,E b){return a.w<b.w;});
  
  for(int i=1;i<=m;++i){
    int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
    if(x!=y){
      val[++p]=e[i].w; //新建点点权=边权
      pa[p]=pa[x]=pa[y]=p; //点x,y均指向点p
      add(p,x); add(p,y);  //x,y均与p连无向边
    }
  }
}
void dfs(int x,int f){ //预处理dep,fa数组
  dep[x]=dep[f]+1; fa[x][0]=f;
  for(int i=1;i<=20;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
  for(int i=h[x];i;i=ne[i]){
    int y=to[i];
    if(y!=f) dfs(y,x);
  }
}
int lca(int x,int y){ //倍增求lca
  if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); //让x更深
  for(int i=20;i>=0;i--)if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i]; //x向上跳到y的同一层
  if(x==y) return x;
  for(int i=20;i>=0;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; //x,y一起向上跳
  return fa[x][0];
}
int main(){
  ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
  cin>>n>>m>>q;
  for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i){
    cin>>u>>v>>w;
    e[i]={u,v,w};
  }
  
  p=n;      //新建点编号初值
  kruskal();//重构树
  dfs(p,0); //倍增预处理dep,fa数组
  for(int u,v;q--;){
    cin>>u>>v;
    printf("%d\n",val[lca(u,v)]);
  }
}
 

 

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