D09【模板】最近公共祖先 倍增算法

D09 最近公共祖先（LCA）倍增算法——信息学奥赛算法_哔哩哔哩_bilibili

 

最近公共祖先 - OI Wiki

最近公共祖先简称 LCA（Lowest Common Ancestor），两个节点的公共祖先里面，离两点最近的那个

倍增算法通过预处理 $fa_{x,i}$ 数组，大幅减少了游标跳转次数

$fa_{x,i}$ 表示点 $x$ 向上跳 $2^i$ 条边到达的祖先节点. 只能跳 $1,2,4,8,16,32...$ 这样的距离

跳跃次数 $=x\;与\;lca\;的距离\;d$ 的二进制表示中含 $1$ 的个数. 例如，$d=41=(101001)$ 仅需要跳 3 次到达

第一阶段，将 $i$ 从 20 循环到 0，如果 $dep[fa_{x,i}]>dep[y]$，则 $x←fa_{x,𝑖}$，最后将 $x,y$ 两点跳转到同一深度

第二阶段，将 $i$ 从 20 循环到 0，如果 $fa_{x,i}\neq fa_{y,i}$，则 $x←fa_{x,i}, y←fa_{y,i}$，最后的 LCA 为 $ fa_{x,0} $

倍增算法的预处理时间复杂度为 $O(nlogn)$，单次查询时间复杂度为 $O(logn)$

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA） - 洛谷

 

// 倍增法 O(nlogn)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=500005;
int n,m,s;
vector<int> e[N];
int dep[N],fa[N][21];

void dfs(int x,int f){ //预处理dep,fa数组
  dep[x]=dep[f]+1; fa[x][0]=f;
  for(int i=1;i<=20;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
  for(int y:e[x]) if(y!=f) dfs(y,x);
}
int lca(int x,int y){ //倍增求lca
  if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); //让x更深
  for(int i=20;i>=0;i--)if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i]; //x向上跳到y的同一层
  if(x==y) return x;
  for(int i=20;i>=0;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; //x,y一起向上跳
  return fa[x][0];
}
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
  for(int i=1,a,b; i<n; i++){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    e[a].push_back(b); e[b].push_back(a);
  }
  
  dfs(s,0);
  for(int i=0,a,b;i<m;i++){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d\n",lca(a,b)); 
  }
}

 

 

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