D09 最近公共祖先（LCA）倍增算法

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最近公共祖先 - OI Wiki

最近公共祖先简称 LCA（Lowest Common Ancestor）．两个节点的最近公共祖先，就是这两个点的公共祖先里面，离根最远的那个．

倍增算法 通过预处理 fa_𝑥,𝑖 数组，大幅减少了游标跳转次数．fa_𝑥,𝑖 表示点 𝑥 的第 2^𝑖 个祖先．fa_𝑥,𝑖 数组可以通过 dfs 预处理出来．

在第一阶段中，我们要将 𝑢,𝑣 两点跳转到同一深度．我们可以计算出 𝑢,𝑣 两点的深度之差，设其为 𝑦．通过将 𝑦 进行二进制拆分，我们将 𝑦 次游标跳转优化为「𝑦 的二进制表示所含 1 的个数」次游标跳转．

在第二阶段中，我们从最大的 𝑖 开始循环尝试，一直尝试到 0，如果 fa_𝑢,𝑖 ≠fa_𝑣,𝑖，则 𝑢 ←fa_𝑢,𝑖,𝑣 ←fa_𝑣,𝑖，那么最后的 LCA 为 fa_𝑢,0．

倍增算法的预处理时间复杂度为 𝑂(𝑛log⁡𝑛)，单次查询时间复杂度为 𝑂(log⁡𝑛)．

 

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA） - 洛谷

// 倍增法 O(nlogn)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=500005;
int n,m,s;
vector<int> e[N];
int fa[N][22],dep[N];

void dfs(int x,int f){
  dep[x]=dep[f]+1; fa[x][0]=f;
  for(int i=1;i<=20;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
  for(int y:e[x]) if(y!=f) dfs(y,x);
}
int lca(int x,int y){
  if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); //让x更深
  for(int i=20;~i;i--)if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i]; //x向上跳到y的同一层
  if(x==y) return x;
  for(int i=20;~i;i--)if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; //一起向上跳
  return fa[x][0];
}
int main(){
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
  for(int i=1,a,b; i<n; i++){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    e[a].push_back(b); e[b].push_back(a);
  }
  dfs(s,0); //倍增预处理 dep,fa 数组
  for(int i=0,a,b;i<m;i++){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d\n",lca(a,b)); //倍增求LCA
  }
}

 

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