动态规划--编号动态规划问题

 

最长递增序列问题

输入：A[1 2…n]

输出：最长递子增序列的长度

 

1.如何用子问题来表示

（思路上：dp[ i ]：一定包含i 或 可能包含i）

设：dp[ i ]表示以第 i 个元素结尾的最长序列长度

则总问题==max（dp[ i ]）,其中i=1，2…n。

2.优化子结构和重叠子问题

3.递归方程的建立

dp[ i ] = max{ dp[ j ](其中j < i且aj < ai)}+1

递归终点：dp[ 0 ] = 1;

 

4.自底向上的计算

5. 伪代码

For i = 1 To n

       dp[ i ] <~ 0;//初始化

       For j = 0 To i-1

      if( a[ j ] <= a[ i ]  AND dp[ i ] < dp[ j ])

                Then dp[ i ] <~ dp[ j ]

      dp[ i ] = dp [ i ] + 1

return max(dp[ i ])

6.时间复杂度O（n^2）

7.优化

每次寻找最大dp[ j ]时 时间复杂度 为O（n），若使用堆结构，可以优化到O（logn）

最大子数组问题

问题定义：

输入：A[1..n]

输出：最大子数组

          A.暴力求解  O(n^2)

          B.分治法：O(nlogn)

          （1） 分组：以从中央位置mid=⌊(low+high)/2⌋将A[low..high]划分为两个子数组

          则结果只能为三种情况

　   •    完全位于子数组A[low..mid]中，即low≤i≤j≤mid 。

　　•    完全位于子数组A[mid+1..high]中，即mid<i≤j≤high。

　　•    跨越了中央位置mid，即low≤i≤mid<j≤high。

         （2） 求解

                递归终点：if（low == high）return (low,high,A[low]);

         （3） 合并：比较三个和的大小O（1） +  计算crosssum  O（n）

           伪代码：

       

所以有递归式T(n)=2T(n/2)+Θ(n)。求解这个递归式，得到T(n)=Θ(nlgn)。

                  C. 动态规划

 

上述最大递增序列和问题是不连续最大和的问题，而现在转而研究连续的最大和问题

1.如何用子问题来表示

dp[ i ]表示以 i 结尾的最大子数组

则总问题==max（dp[ i ]）,其中i=1，2…n。

2.优化子结构和重叠子问题

3.递归表达式

dp[ i ] = max（dp[ i-1 ] + A[ i ] , A[ i ]）

 

递归终点：dp[ 0 ] =A[ 0 ];

 

4.伪代码

 

For i = 0  To n

      if i == 0

      dp[ i ] <~A[ 0 ];

      else

      dp[ i ] <~ max( dp[ i-1] + A[ i ] , A[ i ])

summax <~ A[ 0 ];

For i = 0 To n

      if dp[ i ] > summax

           summax = dp [ i ]

return summax

5. 时间复杂度：O（n）

 【钢条切割问题】

给定一根长度为n英寸的长钢条，求最优切割方案，使得销售收益最大。

注意：不切割也是一种可能方案

1.如何用子问题表示

设dp[ i ]表示前 i 长度的最优切割

其中dp[ 0 ]表示不进行切割

则总问题==dp[ n ]

2. 优化子结构和重叠子问题

3. 递归表达式

dp[ i ] = max{dp[ j ] + pi-j （其中 0 <= j < i）} 

递归终点：dp[ 0 ] = 0

 

 4. 时间复杂度分析O（n^2）

5. 伪代码

For i = 1 To n

      dp[ i ] = 0

 

      For j = 0 To i - 1

            if dp[ i ] < dp[ j ] + pi-j

                dp[ i ] = dp[ j ] + pi-j

return dp[ n ]