NOIP2022 T4 题解

\(P8868\)

\(1\)~\(2\) 写你喜欢的暴力，复杂度\(O(Qn^3)\)，期望得分\(8pts\)。

\(3\)~\(5\) 先预处理每个区间的最大值，查询用二维前缀和，复杂度\(O(n^2+Q)\)，期望得分\(20pts\)，也是本题的大众分。

本题的正解做法较多，这里仅展示线段树维护历史和做法。

\(6\)~\(25\) 在线不太好做，考虑离线，按\(r\)排序。于是我们可以把问题转化一下：设\(A_l\)表示\(a_l-a_r\)的最大值，其中\(r\)是递增枚举的。也就是说，\(A\)是动态维护的。同理，\(B_l\)表示\(b_l-b_r\)的最大值。设\(S_l=A_l\times B_l\)。那么，每枚举一个\(r\)，就要找到对于\(a\)，\(r\)前面第一个比它大的位置\(posa\)。把\(A_{posa+1}-A_r\)都赋值为\(a_r\)。同理，对于\(b\)，找到\(r\)前面第一个比它大的位置\(posb\)。把\(B_{posa+1}-B_r\)都赋值为\(b_r\)，同时更新\(S_i\)，这个可以用单调栈实现。那查询\((l,r)\)就是在问枚举到\(r\)时，\(S_i\)的历史和之和，其中\((l\le i\le r)\)。这个过程可以用线段树维护历史和实现，对每个区间维护\([length,suma,sumb,sums,history]\)，转移矩阵懒得摆了。复杂度\(O(125(n+Q)logn)\)，无法通过。但是，我们发现只有矩阵中只有\(12\)个元素是有用的，于是我们维护\(12\)个\(tag\)，手动矩阵乘法即可，复杂度\(O(40(n+Q)logn)\)，可以通过，期望得分\(100pts\)。

最后来一句，相信\(NOIP\)，实力到了，就一定能考出来！