NOIP2022 T2 题解

\(P8866\)

本题中，我们默认，栈左边的元素靠下，栈右边的元素靠上。

\(7\)~\(10\) 写你喜欢的暴力，枚举每个元素被放到了哪个栈里，能消就消，显然不会出现\(3\)个底部相同的栈，使得你不知道该如何消。复杂度\(O(T3^m)\)，期望得分\(20pts\)。

显然，\(k\)在\(2n\)附近，所以启示我们要努力让每个栈最多只有\(2\)个元素。显然，我们要努力做到，来一个消一个，不要留后患。所以：

\(1\)~\(3\) 让\(n-1\)个栈放元素，剩下\(1\)个空栈\(sp\)来做\(2\)操作。来一个元素，如果不在栈内就加到一个大小\(\le1\)的栈内，如果同类元素在栈顶就用操作\(1\)，如果同类元素在栈底就用空栈\(sp\)和操作\(2\)。维护每个元素所在栈\(pos\)，每个栈的情况\(st\)，和大小\(\le1\)的栈构成的集合\(s\)(用栈或队列实现)。复杂度\(O(n+S)\)，期望得分\(35pts\)，也是本题的大众分。

然后你会发现，在\(k=2n-1\)的时候，上面的策略可能就不奏效了。但你会发现，不奏效的时候，就是\(2n-2\)种牌塞满了\(sp\)之外的\(n-1\)个栈，现在来了第\(2n-1\)种牌，你不知道该怎么放了。所以我们现在要研究另外一种策略，来对付这种情况。

\(4\)~\(6\) 这\(3\)个点其实不难拿，这道题做得好不好关键就是这\(3\)个点。设\(stack[1]={1,2}\)。现在来了一个\(3\)。不太好决策，我们必须考虑下一张牌是啥。如果是\(2\)，就把\(3\)放入\(stack[2]\)，消掉\(2\)，如果是\(1\)，就把\(3\)放入\(stack[1]\)，消掉\(1\)。否则，\(3\)就被消掉了。但这样可能会导致\(stack[1]={1}\)，\(stack[2]={2}\)。但也可以讨论出解救办法，这里不再赘述。复杂度\(O(n+S)\)，期望得分\(50pts\)。
但你会发现，上面那个做法不太好拓展。在\(n\)更大时，可能会出现没有\(sp\)的情况，即上面的\(stack[1]={1}\)，\(stack[2]={2}\)。但牌种数变多了，栈也变多了，可能会出现救不回来的情况了，不能在讨论出解救办法了(体会)。所以这个做法仅限部分分。

\(11\)~\(14\) 你发现，如果第\(2n-1\)种牌后面紧跟栈底牌，那么可以放入其对应栈的顶部，用空栈\(sp\)消掉即可。那如果后面紧跟栈顶牌，那可以把第\(2n-1\)种牌放入\(sp\)吗？答案，不行！可以构造出反例，就会像上面说的，救不回来了。
但是如果你考虑栈底牌对应栈顶牌在[第\(2n-1\)种牌,栈底牌]这个区间内的数量的话，如果是偶数个，就放到对应栈顶部，如果是奇数个，就放到\(sp\)里，消完之后更换\(sp\)的坐标，你会发现，刚好就可以了(体会)！其他牌肯定是栈顶牌，在栈顶消了即可。
需要注意的是，如果先遇到了第\(2n-1\)种牌，那就直接无脑放入\(sp\)，中间的牌都可以在栈顶被消掉。这种情况一定要特殊处理！
如果你写得不好的话，那复杂度\(O(nS)\)，期望得分\(70pts\)。

\(15\)~\(20\) 如果你写得好的话，那复杂度\(O(n+S)\)，期望得分\(100pts\)。

实现上，建议把基础情况和复杂情况分开处理，复杂情况先统计好操作，再处理栈等信息，做到先操作，后信息。但是，还是无法改变这题有大模拟基因的事实……

后记：本题为\(captainOI\)最讨厌的\(NOIP\)题，如果你要考\(NOIP2022\)的话，建议你还是写\(T3\)吧。

附上一篇博客的链接：博客，有图肯定会更方便理解一些。

最后来一句，相信\(NOIP\)，实力到了，就一定能考出来！