NOIP2024 T1 T2 题解

\(P11361\)

\(1\)~\(4\) 写你喜欢的暴力，细节可能有点令人头疼，写得好的话复杂度\(O(T(4^n+2^nn))\)，期望得分\(20pts\)。

\(5\)~\(8\) 直接比较即可，期望得分\(40pts\)。

\(9\)~\(12\) 按\(t\)分成若干个子区间，对于\(s1\)，把每个区间里\(0\)和\(1\)的数量统计一下，分别为\(a_{0/1}\)。对\(s2\)同理，分别为\(b_{0/1}\)。那这一段的贡献为\(min(a_0,b_0)+min(a_1,b_1)\)。注意别忘了加不动点的贡献。复杂度\(O(n)\)，期望得分\(60pts\)，也算是本题的大众分？

\(13\)~\(16\) 总共\(2\)个不动点，像上面一样用个数计算贡献即可，可能需要处理一点细节。复杂度\(O(n)\)，期望得分\(80pts\)。

然后，你会发现，显然是能匹配尽量匹配的。感性理解一下，匹配了这一对会导致后面最多少匹配一对，不匹配这一对会导致后面最多多匹配一对。

以\(s1_i=0\)，\(s2_i=1\)为例，我们想要找的其实是\(i\)后面最小的\(j\)，使得\(s1_j=1\)且中间不经过不动点，或\(i\)后面最小的\(k\)，使得\(s2_k=0\)且中间不经过不动点。如果\(j\)或\(k\)存在，那就换过来，加上\(i\)的贡献，否则忽略\(i\)即可。所以：

\(17\)~\(18\) 暴力即可，复杂度\(O(n^2)\)，期望得分\(90pts\)。

\(19\)~\(20\) 发现\(j\)和\(k\)都是单增的，于是开\(4\)个指针维护\(j\)和\(k\)即可(因为还可能\(s1_i=1\)，\(s2_i=0\))，复杂度\(O(n)\)，期望得分\(100pts\)，\(captainOI\)也拿到了。

其实这题所有的题解都不好，都做得过于麻烦了。很多人认为\(T1\)难写，\(Luogu\)还标上了蓝色的难度，但其根本原因是，做题者根本就没有想明白。(这也导致\(captainOI\)考完看见\(Luogu\)评级后，心惊胆战，好几天没睡好觉)

\(P11362\)

重要的事情说\(3\)遍，\(\red {v\ge 2,v\ge 2,v\ge 2！}\)

由于\(v\ge 2\)，所以你会发现，导致不合法的根本原因，其实是相邻的\(2\)个\(c\)，一元限制为\(x_{c_i}=d_i\)，\(x_{c_{i+1}}=d_{i+1}\)，但二元限制会链接成：\(x_{c_i}=a--->x_{c_{i+1}}=b\)，且\(b\ne d_{i+1}\)。\(c_1\)前面的部分和\(c_m\)后面的部分，显然不会导致不合法，链接不起来也一样，因为\(v\ge 2\)，我们可以通过巧妙走位的办法避开二元限制。所以其实\(d_i\)没多大用。所以：

\(1\)~\(5\) 写你喜欢的暴力，可能会有点卡常？复杂度\(O(T2^{2n-2}(n+m))\)，期望得分\(25pts\)。

\(6\)~\(9\) 怎样都是合法的，答案为\(v^{2n-2}\)，复杂度\(O(Tlogn)\)，期望得分\(45pts\)。

\(10\)~\(12\) 考虑每一对\((i,i+1)\)的贡献，然后用乘法原理乘起来。可以的不好算，考虑正难则反。不行的有\(v-1\)种，即\(a_i=d_i\)，\(b_i!=d_{i+1}\)。所以答案为\((v(v-1)+1)^{n-1}\)。复杂度\(O(Tlogn)\)，期望得分\(60pts\)。

\(13\)~\(20\) 考虑进一步拓展。\(c_1\)以前和\(c_m\)以后不重要，总贡献为\(v^{2(n-1+c_1-c_m)}\)。对于\((c_i,c_{i+1})\)，考虑正难则反。不行的情况中，\(a_{c_i}=d_i\)，\(b_j=a_{j+1}(c_i\le j\le c_{i+1}-2)\)，\(b_{c_{i+1}-1}\ne d_{i+1}\)。所以不行的方案数为\(v^{c_{i+1}-c_i-1}(v-1)\)。所以答案为\(v^{2(n-1+c_1-c_m)}\prod_{i=1}^{m-1}(v^{2(c_{i+1}-c_i)}-v^{c_{i+1}-c_i-1}(v-1))\)。算上刚开始的排序，复杂度\(O(Tm(logn+logm))\)，期望得分\(100pts\)，\(captainOI\)也拿到了。

但是，如果你不注意一个细节的话，\(100pts->55pts\)。由于本题为保证\(c_i\)互不相同，故存在\(c_i\)相同，且\(d_i\)不同的情况。这种情况要特判为\(0\)，排序后也要对\(c_i\)进行去重。这也证明，本题的样例真是够良心的了。

最后来一句，相信\(NOIP\)，能力到了，就一定能考出来！