NOIP2023 T1 T2 题解

\(P9868\)

\(1\) 输出你喜欢的\(1\)骗分，期望得分\(10pts\)。

\(2\)~\(4\) 找到最小的字母，若出现\(1\)次，那只有它对应的答案为\(1\)，否则全为\(0\)，期望得分\(40pts\)。

\(5\)~\(7\) 暴力枚举所有\(2^n\)种情况，然后按\(2\) ~ \(4\)去做就可以了，复杂度\(O(2^nn)\)，期望得分\(70pts\)。

\(8\) 显然让\(i\)从小到大排成\(s_i\)，让\(j\)从大到小排成\(t_j\)是最好的，于是暴力枚举\(i\)和\(j\)，暴力比较\(s_i\)和\(t_j\)即可，复杂度\(O(n^2m)\)，期望得分\(80pts\)。

\(9\)~\(10\) 其实根本不需要枚举\(j\)。求出\(t\)中最小的\(minn\)和次小的\(sminn\)。对于\(i\)，若\(t_i==minn\)，那就拿\(s_i\)和\(sminn\)比较，否则就和\(minn\)比较，复杂度\(O(nm)\)，期望得分\(100pts\)。

\(P9869\)

\(1\)~\(2\) 写你喜欢的暴力，复杂度\(O(3^n(n+m))\)，期望得分\(20pts\)。

\(3\)~\(4\) 看最后有多少个位置被改成\(U\)即可，期望得分\(40pts\)。

\(5\)~\(6\) 好开始解说。
我们可以维护一个\(pos_i\)代表\(i\)最后的值是什么，是\(1-n\)中谁的初值，还是\(U\)。然后，用并查集维护以\((i,pos_i)\)为边的图的连通性。若一个联通块中含有\(pos\)为\(U\)的元素，那整个联通块都要为\(U\)，复杂度\(O(n+m)\)，期望得分\(60pts\)。

\(7\)~\(8\) \(pos_i\)就要变成矢量了。\(-x\)代表\(x\)初值的相反值。边要变成\((i,pos_i)\)和\((-i,-pos_i)\)了。然后，如果对于\(i\)，\(i\)和\(-i\)在一个联通块内，那\(i\)就要是\(U\)，那整个联通块都要是\(U\)。复杂度\(O(n+m)\)，期望得分\(80pts\)。

\(9\)~\(10\) 特殊性质的提示性很强，把上面两个条件结合一下就行了。\(T\)和\(F\)不用管，无视即可。复杂度\(O(n+m)\)，期望得分\(100pts\)。

\(n\le 10^3\)就让人无法理解了，难道考\(NOIP\)的人还有不会并查集的吗？

还有一种做法是，对\((i,abs(pos_i))\)建有向边。若\(abs>0\)，边权就为\(1\)，否则为\(0\)。这样建出来的就是基环树森林。有以\(T/F/U\)为根的树，还有以环为根的树。\(T/F\)显然不用管。以\(U\)为根的，整个树都要为\(U\)。以边权和为\(1\)的环为根的，整个树都要为\(U\)。这种做法比并查集要难写一些，但是相对清晰和明了。而且可以看出，这道题\(100\)%有解。

最后来一句，相信\(NOIP\)，能力到了，就一定能考出来！