NOIP2024 T4 题解

\(P11364\)

\(1\)~\(2\) 写你喜欢的暴力，复杂度\(O(qn^2logn)\)，期望得分\(8pts\)。

\(3\)~\(5\) 预处理每个区间的\(lca\)，复杂度\(O(n^2logn+qn)\)，期望得分\(20pts\)。

\(14\)~\(16\) 用\(st\)表维护区间\(lca\)，复杂度\(O(nlog^2n+qlogn)\)，期望得分\(32pts\)，也是本题的大众分，\(captainOI\)也拿到了。

\(6\)~\(13\) 和\(17\) ~ \(25\)也没啥区别，就是少做了第一步而已，直接看正解吧。

\(17\)~\(25\) 好开始解说。
首先有一个重要结论，\(dep_{lca[l,r]}=min_{i=l}^{r-1}dep_{lca(i,i+1)}\)。显然左边\(\le\)右边。设\(v=lca[l,r]\)，那一定存在\(p\in[l,r-1]\)，使得\(lca(p,p+1)==v\)，要不然\(lca[l,r]!=v\)，就矛盾了。
这样，我们令\(a_i=dep_{lca(i,i+1)}\)，\(n--\)，判掉\(k=1\)的情况，\(k--\)，\(r--\)，原问题转换成求\(max_{l\le l'\le r' \le r,r'-l'+1\ge k}(min_{i=l'}^{r'}a_i)\)。
我们考虑求出\(a_i\)的极长连续段，例如，\(a=[1,2,3,2,4]\)，那\(a\)的极长连续段为\([4],[3],[2,3,2,4],[1,2,3,2,4]\)。显然，极长连续段是\(O(n)\)级别的，可以用并查集在\(O(n)\)的复杂度内求出(写\(dsu\) \(on\) \(tree\),启发式合并,\(set\)的都不好，对考试来说要写最好的办法)。注意可能会求出非极长连续段，但对后面的计算不影响，所以不要紧，但要知道有这么一回事。
可以发现，原问题又可以转化成求最大的\(v\)，使得存在\(a_i \ge v\)的极长连续段\([l',r']\)，满足\([l',r']\)与\([l,r]\)的交集长度\(\ge k\)。
这个问题是一个偏序问题，若按往常一样分为包含、被包含、左相交、右相交，也可以用二维偏序解决，但是比较麻烦。因为是求最大值，所以重复计算也没关系，所以可以只分\(2\)类。第\(1\)类为\(r'\ge r\)且\(l'\le r-k+1\)，第\(2\)类为\(l+k-1 \le r'\le r\)且\(r'-l'+1\ge k\)。第\(1\)类对\(r\)扫描线，用\(BIT\)维护；第\(2\)类对\(k\)扫描线，用线段树维护即可(当然你要是懒的话都用线段树也行)。时间复杂度\(O((n+q)logn)\)，空间复杂度\(O(nlogn)\)，可以通过本题。

最后来一句，相信\(NOIP\)，实力到了，就一定能考出来！