克鲁斯卡尔算法详解
本章是克鲁斯卡尔算法的C++实现。
目录
1. 最小生成树
2. 克鲁斯卡尔算法介绍
3. 克鲁斯卡尔算法图解
4. 克鲁斯卡尔算法分析
5. 克鲁斯卡尔算法的代码说明
6. 克鲁斯卡尔算法的源码
最小生成树
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边,构成一棵极小连通子图,并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小,则称其为连通网的最小生成树。
例如,对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边,并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林,然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中,并使森林中不产生回路,直至森林变成一棵树为止。
克鲁斯卡尔算法图解
以上图G4为例,来对克鲁斯卡尔进行演示(假设,用数组R保存最小生成树结果)。
第1步:将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步:将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后,边<C,D>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步:将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后,边<D,E>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步:将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后,边<C,E>的权值最小,但<C,E>会和已有的边构成回路;因此,跳过边<C,E>。同理,跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步:将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后,边<E,G>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步:将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后,边<F,G>的权值最小,但<F,G>会和已有的边构成回路;因此,跳过边<F,G>。同理,跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时,最小生成树构造完成!它包括的边依次是:<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法,我们能够了解到,克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时,怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决,采用排序算法进行排序即可。
问题二,处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点,顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点,后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时,判断该边的两个顶点的终点是否重合,重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明:
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后,这几条边的顶点就都有了终点:
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点,就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此,接下来,虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F,即它们的终点相同,因此,将<C,E>加入最小生成树的话,会形成回路。这就是判断回路的方式。
克鲁斯卡尔算法的代码说明
有了前面的算法分析之后,下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明,对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。
1. 基本定义
// 边的结构体 class EData { public: char start; // 边的起点 char end; // 边的终点 int weight; // 边的权重 public: EData(){} EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){} };
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
class MatrixUDG { #define MAX 100 #define INF (~(0x1<<31)) // 无穷大(即0X7FFFFFFF) private: char mVexs[MAX]; // 顶点集合 int mVexNum; // 顶点数 int mEdgNum; // 边数 int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵 public: // 创建图(自己输入数据) MatrixUDG(); // 创建图(用已提供的矩阵) //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen); MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]); ~MatrixUDG(); // 深度优先搜索遍历图 void DFS(); // 广度优先搜索(类似于树的层次遍历) void BFS(); // prim最小生成树(从start开始生成最小生成树) void prim(int start); // 克鲁斯卡尔(Kruskal)最小生成树 void kruskal(); // 打印矩阵队列图 void print(); private: // 读取一个输入字符 char readChar(); // 返回ch在mMatrix矩阵中的位置 int getPosition(char ch); // 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引,失败则返回-1 int firstVertex(int v); // 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引,失败则返回-1 int nextVertex(int v, int w); // 深度优先搜索遍历图的递归实现 void DFS(int i, int *visited); // 获取图中的边 EData* getEdges(); // 对边按照权值大小进行排序(由小到大) void sortEdges(EData* edges, int elen); // 获取i的终点 int getEnd(int vends[], int i); };
MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。
mVexs用于保存顶点,mVexNum是顶点数,mEdgNum是边数;mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如,mMatrix[i][j]=1,则表示"顶点i(即mVexs[i])"和"顶点j(即mVexs[j])"是邻接点;mMatrix[i][j]=0,则表示它们不是邻接点。
2. 克鲁斯卡尔算法
/* * 克鲁斯卡尔(Kruskal)最小生成树 */ void MatrixUDG::kruskal() { int i,m,n,p1,p2; int length; int index = 0; // rets数组的索引 int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。 EData rets[MAX]; // 结果数组,保存kruskal最小生成树的边 EData *edges; // 图对应的所有边 // 获取"图中所有的边" edges = getEdges(); // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大) sortEdges(edges, mEdgNum); for (i=0; i<mEdgNum; i++) { p1 = getPosition(edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号 p2 = getPosition(edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号 m = getEnd(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点 n = getEnd(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点 // 如果m!=n,意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路 if (m != n) { vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n rets[index++] = edges[i]; // 保存结果 } } delete[] edges; // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息 length = 0; for (i = 0; i < index; i++) length += rets[i].weight; cout << "Kruskal=" << length << ": "; for (i = 0; i < index; i++) cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") "; cout << endl; }
C语言完整代码:
1 #include "stdio.h" 2 #include "stdlib.h" 3 struct edge 4 { 5 int m; 6 int n; 7 int d; 8 }a[5010]; 9 int cmp(const void *a,const void *b)//按升序排列 10 { 11 return((struct edge*)a)->d - ((struct edge*)b)->d; 12 } 13 int main(void) 14 { 15 int i,n,t,num,min,k,g,x[100]; 16 printf("请输入顶点的个数:"); 17 scanf("%d",&n); 18 t = n * ( n - 1 ) / 2; 19 for(i=0;i<=n;i++) 20 x[i]=i; 21 printf("请输入每条边的起始端点、权值:/n"); 22 for(i=0;i<t;i++) 23 scanf("%d%d%d",&a[i].m,&a[i].n,&a[i].d);//输入每条边的权值 24 qsort(a,t,sizeof(a[0]),cmp); 25 min=num=0; 26 for(i=0;i<t && num < n-1;i++) 27 { 28 for(k=a[i].m;x[k]!=k;k=x[k])//判断线段的起始点所在的集合 29 x[k]=x[x[k]]; 30 for(g=a[i].n;x[g]!=g;g=x[g])//判断线段的终点所在的集合 31 x[g]=x[x[g]]; 32 if(k!=g)//如果线段的两个端点所在的集合不一样 33 { 34 x[g]=k; 35 min+=a[i].d; 36 num++; 37 printf("最小生成树中加入边:%d%d/n",a[i].m,a[i].n); 38 } 39 } 40 printf("最小生成树的权值为:%d/n",min); 41 system("pause"); 42 return 0; 43 }
克鲁斯卡尔算法的源码
这里分别给出"邻接矩阵图"和"邻接表图"的克鲁斯卡尔算法源码。
> 文章地址:https://i.cnblogs.com/posts/edit-done;postId=6229251 作者:dragonir