「题解」Codeforces 407E k-d-sequence

题意：求最长区间使得加入 \(k\) 个数后 sort 后最后为一个公差为 \(d\) 的等差数列。多解输出 \(l\) 最小的答案。

\(n,k\leq 2\times 10^5,0\leq d\leq 10^9\)

• \(d=0\) 的情况特判一下，找最长的值都相同的段即可

• \(d\neq 0\) 的情况：

是公差为 \(d\) 等差数列需要满足两个条件：

• \(\bmod\ d\) 相同；
• 值两两不同。

可以单独处理每个极长的同余的段，然后分开处理：

先都整除一下 \(d\)，问题都转化成处理公差 \(d\) 为 \(1\) 的情况。

这个区间合法要求 \(\max-\min+1-(R-L+1)\leq k\)，枚举 \(r\) 统计最小的 \(l\) 使得：

• \([L,R]\) 内元素无重复；

• \(\max-\min+1-(R-L+1)\leq k\)。

其中 \(\max\)/\(\min\) 为区间 \([L,R]\) 的最大/小值

无重复的条件很好做，记录一下每个值上次出现的位置，然后记录一下 \(l\) 的下界 \(T\)。

设 \(w_L=\max(L,R)-\min(L,R)+L\)

求 \([T+1,R]\) 中最左的 \(L\) 使得 \(w_L\leq k+R\)，假如我们可以快速维护 \(w\) ，就可以解决这个问题。

怎样维护 \(w\)？

注意 \(\max(L,R)\) 是递减的，\(\min\) 也类似。\(\max(L,R)\) 可以维护一个单调栈，栈中的每个点都代表一段区间，它们的 \(\max(L,R)\) 是这个栈中的这个元素。那么每次弹出的时候修改这个区间的 \(w\) 即可。

操作是区间加减，需要支持的查询为区间最左侧小于等于某个数的位置，这是个经典问题，记录一下区间最小值即可。

均摊下来复杂度是对的，操作数仅有 \(\mathcal{O}(n)\) 个。

实现上有几个小细节，对于每个同余段重新建一棵大小为这个段长度的树，如果每次都 \(\mathcal{O}(n)\) 建树，复杂度是错误的。\(a_i\) 有负数，提前全加上 \(10^9\) 转化成非负数，不影响答案。

综上所述，我们完美的解决了这个问题，时间复杂度 \(O(n\log n)\)

//Code by do_while_true
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
template <typename T> T Max(T x, T y) { return x > y ? x : y; }
template <typename T> T Min(T x, T y) { return x < y ? x : y; }
template <typename T>
T &read(T &r) {
	r = 0; bool w = 0; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') w = ch == '-' ? 1 : 0, ch = getchar();
	while(ch >= '0' && ch <= '9') r = (r << 3) + (r <<1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return r = w ? -r : r;
}
const int N = 200010;
const int INF = 0x7fffffff;
int n, k, d;
int a[N];
std::map<int, int>pre; 
#define tl tree[x].l
#define tr tree[x].r
#define ls tree[x].lson
#define rs tree[x].rson
int trnt;
struct SGT {
	int l, r, sum, mn, tag, lson, rson;
}tree[N << 1];
inline void pushup(int x) { tree[x].mn = Min(tree[ls].mn, tree[rs].mn); }
inline void pushdown(int x) {
	if(tree[x].tag) {
		int &p = tree[x].tag;
		tree[ls].mn += p; tree[rs].mn += p;
		tree[ls].tag += p; tree[rs].tag += p;
		p = 0; 
	}
}
int build(int l, int r) {
	int x = ++trnt; tl = l; tr = r;
	tree[x].mn = tree[x].tag = tree[x].lson = tree[x].rson = 0;
	if(l == r) return x;
	ls = build(l, (l + r) >> 1); rs = build(tree[ls].r+1, r);
	return x;
}
void modify(int x, int l, int r, int v) {
	if(tree[x].l >= l && tree[x].r <= r) {
		tree[x].mn += v;
		tree[x].tag += v;
		return ;
	}
	pushdown(x);
	int mid = (tr + tl) >> 1;
	if(mid >= l) modify(ls, l, r, v);
	if(mid < r) modify(rs, l, r, v);
	pushup(x); 
}
int query(int x, int l, int r, int v) {
	if(tree[x].mn > v) return INF;
	if(tl >= l && tr <= r) {
		if(tl == tr) return tl;
		pushdown(x); int sumq = 0;
		if(tree[ls].mn <= v) sumq = query(ls, l, r, v);
		else sumq = query(rs, l, r, v);
		pushup(x);
		return sumq;
	}
	pushdown(x);
	int mid = (tl + tr) >> 1, sumq;
	if(r <= mid) sumq = query(ls, l, r, v);
	else if(l > mid) sumq = query(rs, l, r, v);
	else {
		sumq = query(ls, l, r, v);
		if(sumq == INF) sumq = query(rs, l, r, v);
	}
	pushup(x);
	return sumq;
}
#undef tl
#undef tr
#undef ls
#undef rs
int L[N], R[N], bcnt, ansl = 1, ansr = 1;
int st1p[N], st1x[N], top1;
int st2p[N], st2x[N], top2;
int down;
signed main() {
//	freopen("in.txt", "r", stdin);
	read(n); read(k); read(d);
	if(!d) {
		for(int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]);
		int l = 1;
		for(int i = 2; i <= n; ++i) {
			if(a[i] != a[i-1]) {
				if(i - l > ansr - ansl + 1) ansl = l, ansr = i-1;
				l = i;
			}
		}
		printf("%d %d\n", ansl, ansr);
		return 0;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]), a[i] += 1000000000;
	L[bcnt = 1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; ++i) {
		if(a[i] % d != a[i-1] % d) {
			R[bcnt] = i-1;
			L[++bcnt] = i;
		}
	}
	R[bcnt] = n;
	for(int i = 1; i <= bcnt; ++i) {
		if(R[i] - L[i] == 0) continue ;
		int nowl = 1, nowr = 0;
		pre.clear();
		top1 = top2 = 0; trnt = 0; down = 1;
		build(1, R[i] - L[i] + 1);
		for(int j = L[i]; j <= R[i]; ++j) a[j] /= d;
		for(int j = L[i]; j <= R[i]; ++j) {
			if(pre[a[j]]) down = Max(down, pre[a[j]]-L[i]+2);
			pre[a[j]] = j;
			while(top1 && st1x[top1] <= a[j]) modify(1, st1p[top1-1]+1, st1p[top1], -st1x[top1]), --top1;
			while(top2 && st2x[top2] >= a[j]) modify(1, st2p[top2-1]+1, st2p[top2], st2x[top2]), --top2;
			st1x[++top1] = a[j]; st1p[top1] = j-L[i]+1;
			st2x[++top2] = a[j]; st2p[top2] = j-L[i]+1;
			modify(1, st1p[top1-1]+1, st1p[top1], st1x[top1]);
			modify(1, st2p[top2-1]+1, st2p[top2], -st2x[top2]);
			modify(1, j-L[i]+1, j-L[i]+1, j);
			int pl = query(1, down, j-L[i]+1, k+j);
			if(pl != INF && j - (pl+L[i]-1) + 1 > nowr - nowl + 1) nowl = pl+L[i]-1, nowr = j;
		}
		if(nowr - nowl + 1 > ansr - ansl + 1) ansl = nowl, ansr = nowr; 
	}
	printf("%d %d\n", ansl, ansr);
	return 0;
}