「抽代」群

群

定义

设\(G\)为集合,\(\cdot\)是\(G\)上的一个二元运算\(G\times G \mapsto G\)满足

• （结合律）\(\forall a,b,c\in G,(ab)c=a(bc)\).
• （幺元存在）\(\exist e\in G,\forall a \in G,ea=ae=a\).
• （逆元存在）\(\forall a\in G,\exist b\in G, ab=ba=e\).

此时称\((G,\cdot)\)是一个群,\(G\)是群的底集合,\(|G|\)是群的阶.

推论

对于一个群，有下面的推论：

• 幺元是唯一的.
• 逆元是唯一的,将其记为\(a^{-1}\).
• 群可以单边定义，即存在左(右)幺元和所有元素都有左(右)逆的集合生成群.

运算满足交换律的群称为Abel群.

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