P3951 (同余) 小凯的疑惑

P3951 (同余) 小凯的疑惑

题目描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？

注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

解题分析

1. 先假设两个值范围：\(a < b\)（\(a\)、\(b\) 为两种金币的面值）。

2. 分析最浅显性质：

假设答案是 $k$，则存在以下关系：得到了式子甲和式子乙

\[k \neq ax + by\ (x, y \geq 0) \land k + 1 = ax + by \]

求 \(k\) 的最大值，等同于求 \(k + 1\) 的最大值 。

3. 这显然是同余形式的算式从同余角度分析：

\[k + 1 \equiv a\ (mod\ b) \quad \therefore x \leq b - 1,\ \text{max}\ x = b - 1 \]

这样，我们就得到x的上限

4.继续探寻y的上限

• \(y\) 的最大值无法通过式子乙直接求解，因为k+1没有上限 。

• 要求 \(k\) 无解，根据相关定理，若对 \(x, y\) 没有非负限制则一定有解，因此需让 \(x\) 或 \(y = -1\) 。

• 由于通过式子已确定 \(x\) 的上限，而无法通过式子找到 \(y\) 的上限，因此选择让 \(y = -1\) 。

4. 最终结论：

\[k = ab - a - b \]