关于组合数、二项式定理等的几点推论

二项式系数的推论

推论 1

\(x^{i \downarrow}=\left(\begin{array}{c}x \\ i\end{array}\right) i !\)

证明：

\[\left(\begin{array}{c}x \\ i\end{array}\right)=\frac{x !}{(x-i) ! \cdot i !}=\frac{x i \downarrow}{i !} \]

常常结合第二斯特林数的生成函数公式使用

推论 2

\[\left(\begin{array}{l}i \\ j\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}j \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}i \\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}i-k \\ j-k\end{array}\right) \]

证明（组合意义）：

1. 设\(|U|=i\)，\(|A|=j\)，\(|B|=k\)

   左侧：从集合\(U\)中选出子集\(A\)，再从\(A\)中选出子集\(B\)的方案数（满足\(U \supseteq A \supseteq B\)）

   右侧：从集合\(U\)中选出子集\(B\)，再从\(U\)中\(B\)的补集\(C_U B\)中选出\(A\)的补集相关元素，两者方案数等效

2. 意义：使\(j\)只在一个组合数中出现，便于使用二项式定理化简成幂形式

推论 3

\[\sum_{i=j}^{n}\left(\begin{array}{l}i \\ j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n+1 \\ j+1\end{array}\right) \]

证明：

1. 组合意义分析：

   等式右侧代表从\(n+1\)个元素中选\(j+1\)个的方案数。

   等式左侧可分类讨论：设\(m=i+1\)，考虑前\(m\)个物品且第\(m\)个物品必须选，共选\(j+1\)个的方案数为\(\left(\begin{array}{c}m-1 \\ j\end{array}\right)\)，其中\(m \in [j+1, n+1]\)，该分类方式与右侧方案数等效

2. 数学归纳法：

   i. 假设：\(\sum_{i=j}^{n-1}\left(\begin{array}{l}i \\ j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ j+1\end{array}\right)\)

   ii. 证明：

\[\sum_{i=j}^{n}\left(\begin{array}{l}i \\ j\end{array}\right)=\sum_{i=j}^{n-1}\left(\begin{array}{l}i \\ j\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n \\ j+1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ j+1\end{array}\right) \]

推论4