微积分的本质
导数的悖论
主要就是讲，导数作为“顺时变化率”是不好的，因为变化是需要两个时间点的，而瞬时是一个时间点的概念，所以“瞬时变化率”这个说法是矛盾的；最好把导数理解成“变化率的最佳近似”
用几何来求导
可以想象一个正方形和一个正方体，边长分别增加了一个小量\(\text{d}x\)，面积/体积如何变化。这就是用几何来求导。有一个重要的规则：忽略掉高阶小量。为什么可以忽略呢？因为导数\(\frac{\text{d}f}{\text{d}x}\)的分母是一阶的，更高阶的小量会随着极限过程趋近于0，就把那一项给消掉了
如果现在要求更高次的导数，可以使用代数方法，将\((x+\text{d}x)^n\)用二项式公式展开就好了
这个视频还讲了其他的很多几何，比如说用园来看三角函数的导数等
直观理解链式法则和乘积法则
和的导数等于导数的和，这一点的推导可以在坐标轴上画出两个函数及其和的曲线，然后同样是增加一个小量\(\text{d}x\)来得到
对于乘积的导数，不要用坐标轴，不直观。数学上的一个很好的方法就是，乘积用面积来考虑：考虑一个长和宽分别是两个乘积项的正方形，然后将其增加一个小量，看面积如何变化，于是得到乘积法则
对于链式法则，视频没啥特别的感觉，看看09:08开始的地方吧
指数函数求导
这一个视频主要就是在利用代数的方法求指数函数的导数。对于类似\(\frac{2^{\text{d}t}-1}{\text{d}t}\)，他是用计算器算的
然后介绍了一下\(e\)的定义：因为在计算\(2^t,3^t,4^t\)的导数的时候，都会发现他们的导数有一个奇奇怪怪的系数。这个系数太奇怪了，所以人们想要一个正常一点的系数，比如是\(1\)；所以对\(e\)的定义就是\(e^x\)的导数的系数是\(1\)；于是就可以利用代数变换法则得到\(a^x\)的导数的系数是\(\ln a\)了
隐函数求导是怎么回事？
这个视频主要就是讲了一下，到底应该如何去理解对隐函数式子两边同时求导
比如对于\(x^2+y^2=5^2\)，可以将其看做坐标轴上半径为\(5\)的圆上的点\((x,y)\)；对于一个点\((x,y)\)，其邻近的仍然在园上的点为\((x+\text{d}x,y+\text{d}y)\)，我们就是想要求出\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)
实际上就可以把左边看成\(S(x,y)\)，于是对\(S\)求导就是在说，\(x\)和\(y\)分别变化一个小量\(S\)会如何变化。这个用链式法则可以得出来；而由于\((x,y)\)变化了一个小量之后仍然是在圆上，所以\(S\)是不会变化的，变化率为\(0\)，所以就可以得出\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)的具体表达式了
隐函数求导还可以用在利用已知函数的导数求未知函数的导数上面。比如现在已知\(e^x\)的导数，要求\(y=\ln x\)的导数，有\(e^y=x\)，然后进行隐函数求导就好了
极限
有了极限的概念之后，才可以理解导数到底是什么了
假设现在有一条比较普通的函数，上面有一个点\((x,y)\)；当\(x\)增加一个小量\(\text{d}x\)的时候，\(y\)会增加一个小量\(\text{d}y\)；如果我们将\(\text{d}x\)不断变小，令其离\(0\)越来越近，式子\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)会在一个值附近上下波动；显然现在\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\)就是变化率，而这个值就是“变化率的最佳近似”；我们的目标就是找到这个最佳近似，我们写作
；所以这里需要去定义\(\lim\)的概念，也就是极限；极限的概念就是用\(\epsilon-\delta\)语言定义的，可以发现这种定义方法刚好符合上面我们对最佳近似的描述
然后讲一下洛必达法则的推导，以\(\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}\)为例。其实问题背景不应该写上\(\lim\)，应该是在\(x\)处，\(f\)和\(g\)的值都是\(0\)，但是附近是连续的，所以\(x\)在附近波动的时候，这个比值会在一个最佳近似值附近波动，我们要找出这个最佳近似值，所以套上\(\lim\)
在合适的条件下，考虑\(x\)变化一个小量，\(f\)和\(g\)都会变化一个小量，由导数的定义可得，变化的小量大约为导数乘以\(\text{d}x\)，而分子分母的\(\text{d}x\)相消（这里的大约可以写成等号，因为残差是一个更高阶小量），
积分与微积分基本定理
不定积分是导数的逆运算，而定积分的定义是，求从下限到上限这个过程，\(f(x)\)乘以一个极小量\(\text{d}x\)，的和。至于为什么定积分是函数下方的面积，以及为什么有微积分基本定理，视频中的理解仍然是使用的比较普通的方法，也就是将函数图像下面看做有无数个长方形，然后将长方形的面积求和
面积和斜率有什么联系？
这个视频主要就是在讲，当你求一个连续函数相关的和，你发现不可能手动地取出无限个数，可以先将其离散化一下，然后让离散化的数目越来越多，最后就是积分了
高阶导数
高阶导数就是导数的导数，以二阶导数为例
二阶导数的式子是\(\frac{\text{d}(\frac{\text{d}f}{\text{d}x})}{\text{d}x}\)，由于这个式子太难看了，考虑化简
如果从函数图像理解，我们首先画出一阶导数的函数图像，然后在\(x\)处，考虑其变化一个小量，函数值也变化一个小量，就是在求这个点的切线的斜率，也就是变化量的最佳近似
如果是从原函数的图像来理解的话，就是在\(x\)处，变化一个小量\(\Delta x\)，函数值也变化一个小量\(\Delta f\)；然后在\(x+\Delta x\)处，变化一个小量\(\delta x\)，函数值也变化一个小量\(\delta f\)；根据定义，我们要求的是一阶导数的\(x\)处的变化率的最佳近似，所以要求的就是\(\frac{\frac{\delta f}{\delta x}-\frac{\Delta f}{\Delta x}}{\text{d}x}\)；如果将三个变化小量看做相等的值的话，那么求的就是\(\frac{\text{d}(\text{d}f)}{\text{d}x^2}\)，即\(\frac{\text{d}^2f}{\text{d}x^2}\)
最后这个式子的意义就是，分子表示函数值变化量的变化量，分母表示\(x\)的变化小量的平方
泰勒展开
泰勒展开就是用一个多项式函数去近似一个任意的连续可导函数。核心思想就是在点\(x\)，这个多项式函数和这个任意函数之间的若干阶导数都相同。显然阶数越高，近似越精确，当然仅限于\(x\)附近
视频中还有个几何意义理解，也可以看一下
如果多项式的项数是有限的，那么就叫泰勒多项式，否则就叫泰勒级数
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