加上条件之后分布仍然不变

设 $ X_1 \sim \text{Exp}(\lambda_i) $, $ X_2 \sim \text{Exp}(\mu_i) $
则

\[P\{\text{下一事件发生时间} = t \mid X_1 < X_2 \} = \frac{P\{\text{下一事件发生时间} = t, X_1 < X_2 \}}{P\{X_1 < X_2\}} \]

\[= \frac{P\{\min(X_1, X_2) = t, X_1 < X_2\}}{P\{X_1 < X_2\}} \]

\[= \frac{P\{X_1 = t, t < X_2\}}{P\{X_1 < X_2\}} \]

\[= \frac{\lambda_i e^{-\lambda_i t} \cdot e^{-\mu_i t}}{\lambda_i} \]

\[= (\lambda_i + \mu_i)e^{-(\lambda_i + \mu_i)t} \]

\[\therefore \;\; T \mid (X_1 < X_2) \sim \text{Exp}(\lambda_i + \mu_i) \]

其实从直观上也可以理解，当我们从总样本空间中抽取出\(X_1<X_2\)的子样本空间的时候，我们是不可以无视\(X_2\)的，因为如果单纯只看\(X_1\)的话，他所生成的一些过程，可能会由于\(X_2\)的\(X_1\)更早而淘汰，所以分布是变化了的，不能说没变