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1. 泰勒展开

假设函数 $ u(x) $ 在点 $ \mathbb{E}[\widetilde{\omega}] $ 处是光滑的（即具有任意阶导数），我们可以对 $ u(x) $ 在 $ x = \mathbb{E}[\widetilde{\omega}] $ 处进行泰勒展开：

\[u(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} u^{(n)}(\mathbb{E}[\widetilde{\omega}]) (x - \mathbb{E}[\widetilde{\omega}])^n, \]

其中：

• $ u^{(n)}(\mathbb{E}[\widetilde{\omega}]) $ 表示函数 $ u(x) $ 在点 $ \mathbb{E}[\widetilde{\omega}] $ 处的第 $ n $ 阶导数，
• $ (x - \mathbb{E}[\widetilde{\omega}])^n $ 是展开中的幂项。

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2. 期望运算

现在，我们将随机变量 $ \widetilde{\omega} $ 代入 $ u(x) $ 的泰勒展开式中，并对整个表达式取期望：

\[\mathbb{E}[u(\widetilde{\omega})] = \mathbb{E}\left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} u^{(n)}(\mathbb{E}[\widetilde{\omega}]) (\widetilde{\omega} - \mathbb{E}[\widetilde{\omega}])^n \right]. \]

由于期望运算符是线性的，我们可以将求和符号和期望运算符交换位置：

\[\mathbb{E}[u(\widetilde{\omega})] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} u^{(n)}(\mathbb{E}[\widetilde{\omega}]) \mathbb{E}[(\widetilde{\omega} - \mathbb{E}[\widetilde{\omega}])^n]. \]