对定理9.1的分析

要从积分不等式

\[-\int_0^1 [F_A(x) - F_B(x)] u'(x) dx \leq 0 \quad \text{（对所有满足条件的 } u \text{ 成立）} \]

推出 全局不等式 $ F_A(x) \leq F_B(x) $ 对任意 $ x \in [0,1] $ 成立，需要结合 积分不等式的局部化分析 和 反证法。以下是详细推导逻辑：

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1. 积分不等式的含义

• 符号与假设：

  • $ F_A(x) $ 和 $ F_B(x) $ 是两个累积分布函数（CDF），单调非降且右连续。
  • $ u'(x) $ 是测试函数（test function）的导数，且 $ u'(x) \geq 0 $（由 $ u $ 为凸函数导出）。
  • 积分不等式的成立性需对所有满足条件的 $ u $ 成立。

• 目标：
  证明对任意 $ x \in [0,1] $，都有 $ F_A(x) \leq F_B(x) $。

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2. 构造局部化的测试函数

选择一个特定的测试函数 $ u_\delta(x) $，其导数 $ u_\delta'(x) $ 是 区间 \([x_0-\delta, x_0+\delta]\) 上的指示函数（indicator function）：

\[u_\delta'(x) = 1_{[x_0-\delta, x_0+\delta]}(x) = \begin{cases} 1, & x \in [x_0-\delta, x_0+\delta], \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \]

（注意：严格来说，$ u_\delta(x) $ 需满足光滑性要求，但此处为简化分析，可视为近似构造。）

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3. 将积分不等式局部化

将上述 $ u_\delta'(x) $ 代入积分不等式：

\[-\int_0^1 [F_A(x) - F_B(x)] \cdot 1_{[x_0-\delta, x_0+\delta]}(x) dx \leq 0. \]

由于 $ 1_{[x_0-\delta, x_0+\delta]}(x) $ 仅在区间 \([x_0-\delta, x_0+\delta]\) 内非零，积分可简化为：

\[-\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} [F_A(t) - F_B(t)] dt \leq 0. \]

两边乘以 \(-1\)（不等号方向翻转）：

\[\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} [F_A(t) - F_B(t)] dt \geq 0. \]

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4. 取极限 $ \delta \to 0 $

当 $ \delta \to 0 $ 时，积分区间 \([x_0-\delta, x_0+\delta]\) 收缩为单点 $ x_0 $。利用积分的平均值性质：

\[\lim_{\delta \to 0} \frac{1}{2\delta} \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} [F_A(t) - F_B(t)] dt = F_A(x_0) - F_B(x_0). \]

由于积分整体非负（即 $ \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} [F_A(t) - F_B(t)] dt \geq 0 $），除以 $ 2\delta $ 后仍非负，因此：

\[F_A(x_0) - F_B(x_0) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad F_A(x_0) \leq F_B(x_0). \]

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5. 全局性证明

上述推导对任意 $ x_0 \in [0,1] $ 和任意小的 $ \delta > 0 $ 成立，因此结论适用于所有 $ x $，即：

\[\forall x \in [0,1], \quad F_A(x) \leq F_B(x). \]

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6. 关键点总结

• 局部到全局：通过构造局部化的测试函数，将积分不等式转化为对任意点 $ x $ 的局部约束。
• 极限分析：利用积分平均值的极限性质，将局部积分结果推广到点态不等式。
• 反证法思想：若存在某个 $ x_0 $ 使得 $ F_A(x_0) > F_B(x_0) $，则可构造对应的测试函数导致积分不等式矛盾，从而否定该可能性。

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7. 数学背景

这一推导常见于 随机占优理论（Stochastic Dominance）和 变分法（Calculus of Variations）：

• 在随机占优中，积分不等式的形式用于定义一阶、二阶占优关系（如 $ F_A $ 一阶占优 $ F_B $ 等价于 $ F_A(x) \leq F_B(x) $）。
• 在变分法中，通过选择特定测试函数，可将积分约束转化为微分方程或点态不等式。

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