6.2 练习

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这道题目探讨了手工设计卷积核在数学运算中的应用,主要涉及导数和积分的离散化实现。以下是分步解释:


1. 二阶导数的卷积核形式

答案

\[[-1 \quad 2 \quad -1] \]

解释

  • 在离散信号中,二阶导数可通过中心差分近似:

    \[f''(x) \approx f(x+1) - 2f(x) + f(x-1) \]

    对应的核为 [1, -2, 1]。但题目中给出 [-1, 2, -1],符号相反。
  • 原因:卷积操作中核与信号的滑动方向可能导致符号差异(例如是否反转核),但两种核的功能等价,仅方向不同。

2. 积分的卷积核形式

答案

\[[1 \quad 1 \quad 1 \quad \cdots \quad 1] \]

解释

  • 离散积分对应信号的累加。使用全1核进行卷积,每个输出点是当前及前几个输入点的和。
  • 例如,核 [1, 1, 1] 对信号 [a, b, c] 的卷积结果为 [a, a+b, a+b+c, b+c, c](边界需填充)。
  • 归一化:实际应用中可能需除以核长度(如 [1/3, 1/3, 1/3]),但题目未涉及。

3. 计算d次导数的最小核大小

答案
最小核大小为 $ d + 1 $。
解释

  • 一阶导数:需两个点计算差分(如 [-1, 1]),核大小为2。
  • 二阶导数:需三个点计算中心差分(如 [1, -2, 1]),核大小为3。
  • d次导数:需要 $ d+1 $ 个点构造差分公式。例如,三阶导数需四个点:

    \[f'''(x) \approx \frac{f(x+2) - 3f(x+1) + 3f(x) - f(x-1)}{h^3} \]

    对应核为 [1, -3, 3, -1],大小为4。

总结

  • 二阶导数核:符号差异不影响功能,核心是系数关系。
  • 积分核:全1核实现累加,是否归一化依场景而定。
  • 最小核大小:由差分公式的阶数决定,严格需要 $ d+1 $ 个点。

应用意义:这些核在图像处理(如边缘检测)和信号分析中广泛使用,是手工设计特征的基础。

posted @ 2025-03-13 09:22  最爱丁珰  阅读(18)  评论(0)    收藏  举报