6.2 练习

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这道题目探讨了手工设计卷积核在数学运算中的应用，主要涉及导数和积分的离散化实现。以下是分步解释：

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1. 二阶导数的卷积核形式

答案：

\[[-1 \quad 2 \quad -1] \]

解释：

• 在离散信号中，二阶导数可通过中心差分近似：
  \[f''(x) \approx f(x+1) - 2f(x) + f(x-1) \]
  对应的核为 [1, -2, 1]。但题目中给出 [-1, 2, -1]，符号相反。
• 原因：卷积操作中核与信号的滑动方向可能导致符号差异（例如是否反转核），但两种核的功能等价，仅方向不同。

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2. 积分的卷积核形式

答案：

\[[1 \quad 1 \quad 1 \quad \cdots \quad 1] \]

解释：

• 离散积分对应信号的累加。使用全1核进行卷积，每个输出点是当前及前几个输入点的和。
• 例如，核 [1, 1, 1] 对信号 [a, b, c] 的卷积结果为 [a, a+b, a+b+c, b+c, c]（边界需填充）。
• 归一化：实际应用中可能需除以核长度（如 [1/3, 1/3, 1/3]），但题目未涉及。

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3. 计算d次导数的最小核大小

答案：
最小核大小为 $ d + 1 $。
解释：

• 一阶导数：需两个点计算差分（如 [-1, 1]），核大小为2。
• 二阶导数：需三个点计算中心差分（如 [1, -2, 1]），核大小为3。
• d次导数：需要 $ d+1 $ 个点构造差分公式。例如，三阶导数需四个点：
  \[f'''(x) \approx \frac{f(x+2) - 3f(x+1) + 3f(x) - f(x-1)}{h^3} \]
  对应核为 [1, -3, 3, -1]，大小为4。

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总结

• 二阶导数核：符号差异不影响功能，核心是系数关系。
• 积分核：全1核实现累加，是否归一化依场景而定。
• 最小核大小：由差分公式的阶数决定，严格需要 $ d+1 $ 个点。

应用意义：这些核在图像处理（如边缘检测）和信号分析中广泛使用，是手工设计特征的基础。