4.5 练习

\((4)\)
佛罗贝尼乌斯范数的平方可以通过矩阵的迹运算表示，类似于向量的L2范数平方形式。具体来说：

对于向量 $ w $，其L2范数平方为 $ |w|_2^2 = w^\top w $。
对于矩阵 $ A $，其佛罗贝尼乌斯范数平方为：

\[\|A\|_F^2 = \text{trace}(A^\top A), \]

其中 \(\text{trace}(A^\top A)\) 表示矩阵 $ A^\top A $ 的迹（对角线元素之和）。这等价于 $ A $ 的所有元素的平方和。因此，佛罗贝尼乌斯范数可表示为：

\[\|A\|_F = \left[ \text{trace}(A^\top A) \right]^{1/2}. \]

答案：
佛罗贝尼乌斯范数的平方可表示为矩阵的迹运算，即

\[\|A\|_F^2 = \text{trace}(A^\top A). \]