[CSP-S 2024] 染色

CCF在CSP卡常我是没想到的

一眼DP，尝试设\(f_i\)表示前\(i\)个的最大价值，假设在\(i\)前面第一个涂与\(i\)相同颜色的方块是\(j\)，就会发现\([j+1,i-1]\)的价值没办法确定，主要是\(j+1\)的价值没办法确定。此时的情形是\(j\)和\(j+1\)的颜色不同，于是可以加维设\(f[i][0/1]\)表示前\(i\)个的最大价值，其中\(i\)和\(i-1\)的颜色相同/不同，于是有

\[f[i][0]=\max(f[i-1][0],f[i-1][1])+\begin{cases} 0 & \text{if } a[i]≠a[i-1] \\ a[i] & \text{if } a[i]=a[i-1] \end{cases}\]

\[f[i][1]=\underset{j<i-1}{\max}(f[j+1][1]+\text{val}(j+2,i-1)+\begin{cases} 0 & \text{if } a[i]≠a[j] \\ a[i] & \text{if } a[i]=a[j] \end{cases})\]

，其中\(\text{val}(i,j)\)表示\([i-1,j]\)是相同颜色，\([i,j]\)的总贡献.这个用前缀和处理就好了，即\(\text{val}(i,j)=sum_j-sum_{i-1}\)，于是有

\[f[i][1]=\underset{j<i-1}{\max}(f[j+1][1]-sum_{j+1}+\begin{cases} 0 & \text{if } a[i]≠a[j] \\ a[i] & \text{if } a[i]=a[j] \end{cases})+sum_{i-1}\]

对于这个式子，不难以\(a[i]\)为下标建立线段树找最大值，然后实现\(O(Tn\log V)\)的复杂度
可惜，CCF这次卡常，而且我优化不掉，于是只能使用其他技巧
想一下，我们现在要干的事是找出\([1,a[i]-1]\)和\([a[i]+1,V]\)中的最大值，以及\(a[i]\)的DP值加上\(a[i]\).如果我们直接找\([1,V]\)的最大值，那么显然那可以\(O(1)\)时间，但是如果找出来的地方是\(a[i]\)呢？其实不影响，因为此时一定有\(f[j+1][1]-sum_{j+1}+a[i]>f[j+1][1]-sum_{j+1}\)

这个优化以前没见过，的确可以看一下