无源汇上下界可行流

注意这里给的有向图不是一个网络，因为是没有源点汇点的；相当于就是构造一个流函数\(f\)（定义域是每条边），使其满足流量守恒和容量限制

我们没学过有下界的一般图的最大流算法，所以这里尝试转化成无下界的网络最大流算法；也就是说对于原图\(G\)，我们要构造一个新网络\(G_1\)，使得\(G\)的一个可行流\(f\)可以与\(G_1\)中的一个可行流一一对应，如果能够成功构造，我们求解\(G_1\)的最大流就是原图的一个可行流；这样做肯定有问题，因为显然\(G\)可能是无解的，而\(G_1\)一定是有解的，所以不可能做到一一对应，也就是说对于\(G_1\)的一个可行流可能无法在\(G\)中找到一个可行流对应（因为无解），于是猜测\(G_1\)的可行流集合大于\(G\)的可行流集合，所以我们换一种对应方法，尝试将\(G\)的可行流与\(G_1\)的最大流一一对应（因为\(G_1\)的可行流集合也一定大于\(G_1\)的最大流集合）；对应成功后，求解\(G_1\)的最大流就是\(G\)的可行流

对于\(G\)的一个可行流\(f\)，有\(\min(u,v)\leq f(u,v)\leq \max(u,v)\)，由于下界要变成\(0\)，所以写成\(0\leq f(u,v)-\min(u,v)\leq \max(u,v)-\min(u,v)\)；于是一个naive的想法就是对于\(G_1\)的每条边\((u,v)\)的容量限制限制为\(\max(u,v)-\min(u,v)\)就行了；但是这样会有一个问题，这样子设置就会导致不知道\(G_1\)的源点汇点是干嘛的，而且好像与我们上面分析的"\(G\)的可行流与\(G_1\)的最大流一一对应"没有什么关系，并且\(G_1\)求解的最大流对应回\(G\)后，\(G\)不一定满足流量守恒；分析一下为什么不满足流量守恒，设\(in[x]=\underset{u∈V}{\sum}\min(u,x),out[x]=\underset{u∈V}{\sum}\min(x,u)\)，那么当\(in[x]>out[x]\)的时候，我们从\(G_1\)对应回\(G\)的时候，进入\(x\)的流量增加的量会多与从\(x\)出去的流量增加的量，而在\(G_1\)中，进入\(x\)的流量等于\(x\)出去的流量，这就会导致\(G\)中流量不守恒（\(in[x]<out[x]\)同理分析）；于是我们要想办法减少\(G_1\)中进入\(x\)的流量，让其最开始就小于从\(x\)出去的流量，然后对应回去的时候就满足流量守恒了；这个时候就要让源点汇点干事情了，如果\(in[x]>out[x]\)，那么在\(G_1\)中连接边\((s,x)\)，权值为\(in[x]-out[x]\)，如果\(in[x]<out[x]\)，那么在\(G_1\)中连接边\((x,t)\)，权值为\(out[x]-in[x]\)；此时再对\(G_1\)跑最大流，如果\(G_1\)的最大流等于\(s\)出边的权值之和，那么就说明\(G\)有可行流，对应回去就可以了（如果\(G_1\)的最大流等于\(s\)出边的权值之和的话，\(G\)的任意一个可行流也可以对应到\(G_1\)的最大流），否则说明\(G\)无解（如果有解的话，对应过来显然是\(G_1\)的一个流，而且这个流是等于\(s\)出边的权值之和，而\(G_1\)的最大流不会超过\(s\)出边的权值之和，这就与\(G_1\)的最大流不等于\(s\)出边的权值之和矛盾）