飞行员配对方案问题

借助这道题目,讲一下所有最大流建模的思路

对于原问题的解集\(S\)和我们建模之后的网络的可行流集合\(T\),我们需要证明\(\forall s∈S,\exists t∈T,|s|=|t|\)(前面一个绝对值符号表示\(s\)的值,后面一个绝对值符号表示\(t\)的最大流)且\(\forall t∈T,\exists s∈S,|s|=|t|\)(其实上面的证明方法也就是充分必要性证明)

那么对于二分图的建模见蓝书,来像上面证明一下,见黑书P429引理26.9

注意:其实在我们构造二分图的流的时候,有可能会构造出来一个流不是整数的流,此时没办法对应二分图;所以我们的可行流集合\(T\)要限定一下,规定是整数可行流,此时可以将\(S\)\(T\)一一对应;但黑书上的证明是基于有理数集合的,我们在FF的时候跑出来的最大流是可行流集合(而不是整数可行流)的的最优解,所以这个时候我们还需要证明跑出来的最大流是整数;由于我们Dinic过程中任意时刻\(\text{maxflow}\)都是整数而且最后没有增广路,所以得证(也就是黑书P430定理26.10)

posted @ 2024-09-02 23:50  最爱丁珰  阅读(20)  评论(0)    收藏  举报