Balanced String

这道题目真的不知道怎么总结了，这技巧太新了

见这篇题解

为什么最开始要引入这个子问题呢？实际上，我们假设我们已经得到了最终的交换后的答案，设为\(t\)，\(s\)就是题目给的原串，从\(s\)到\(t\)的最小交换次数当然就是从\(t\)到\(s\)的最小交换次数，于是考虑从\(t\)到\(s\)的最小交换次数，发现是\(s,t\)不相等的位置的个数

接下来的DP就围绕这个个数做文章。我们抛开题目的交换操作不看，直接构造\(t\)：每一个位置可以随便填\(0/1\)，\(f_{i,j,k}\)记录的就是所有长度为\(i\)的\(0/1\)串（一共有\(2^i\)个），满足所给条件的与\(s\)前\(i\)个字符不同的位置的最小个数。然后直接考虑\(f_{n,cnt,0}\)（其中\(cnt\)是\(s\)中\(0\)的个数），这个\(f\)根据最开始的子问题的分析，就是答案

update 2024.8.28

稍微想了一个简单一点的：假设我们已经获得了最终的答案\(t\)，可以发现最小交换次数就是\(s\)与\(t\)不同的位置的个数；于是设\(f[i][j][k]\)表示对于\(s\)前\(i\)个字符，将\(0\)改成\(1\)的个数减去将\(1\)改成\(0\)的个数的差为\(j\)，"10"减去"01"的个数为\(k\)的最小的将\(0\)改成\(1\)的个数，DP即可；最终答案为\(f[n][0][0]\)

但是这里要用滚动数组优化，记住滚动数组每次进入循环都要重新初始化，而且为了不超时，转移的时候一定要加上判断，保证由于转移的状态是上个阶段的合法状态