[十二省联考 2019] 异或粽子

如果这道题目会可持久化trie的话，是可以用“超级钢琴”这一道题目的思路去做的

如果不行的话，考虑用trie，但是仍然是“超级钢琴”的思路，由于不会可持久化，所以必须使用一个完整的字典树，于是考虑将\(i<j\)这个条件弱化，然后看这篇题解(关于trie的常用trick的综合可以记住)。这篇题解仍然是“超级钢琴”的思路，“超级钢琴”的思路可以记下，如果往“超级钢琴”上面去想，就可以将这道题目变成如何找出第\(k\)大了

讲一下怎么查找第\(k\)大，不要用二分了，直接把\(sum_r\)放在trie树上查找。trie树每个点记录一下这个点的子树有多少个位置（这个维护方法跟Collapsing Strings的维护方法一样）。对于当前位，如果已经得到位置数加上反方向的位置数的和小于\(k\)，那么将已经得到位置数加上反方向的位置数，然后向同方向走（因为向反方向走是达不到第\(k\)大的），否则的话将答案的这一位变成\(1\)，然后向反方向走

也就是说查询第\(k\)大根本不用二分，其实上一道题目也没用二分查询第\(k\)大（或者说上一道题目的第\(k\)大与这里的第\(k\)大不同）

update 2026.2.20
下面的做法是错误的，因为那个公式不成立，一个加法是整数加法，另一个加法是布尔加法。但是大方向是正确的（见下一道题目）
给出一种新做法
首先仍然是将\(i<j\)这个条件弱化，找出排名为\(2k\)的异或值\(x\)，接下来找出所有大于\(x\)的异或值的和，并且统计有多少个，于是就可以得出\(x\)应该有多少个，然后就可以计算最终的总和
所以难点就是找出所有大于\(x\)的异或值的和，并且统计有多少个
假设现在我们在字典树上查找\(a_i\)的异或值，在当前节点有两条路径，往0走或者往1走。往\(a_i\)当前位相反方向走，得到的数更大；反之更小
如果只能往相反方向走（因为往相同方向走得到的数更小，没有大于\(x\)），那么直接往相反方向走一步
否则的话往相同方向走，但是我们需要统计相反方向的和以及个数
个数比较好统计，在字典树上记录一下每个节点的子树的叶子数目即可
和的话要利用公式\(a⨁c+b⨁c=\bar{a}c+a\bar{c}+\bar{b}c+b\bar{c}=(\bar{a}+\bar{b})c+(a+b)c\)（这里的加法和乘法是与和或）。根据这个公式，我们记录一个节点的子树的所有叶子结点的和以及其取反的和，然后就可以计算和了