Yet Another Permutation Constructive

这道题目不用写，因为必须要求用kotlin语言

讲一下我做这道题目的过程

我最开始正着想，如果\(k\)比较大的话，我们就想一次删的数少一点，所以考虑一次操作有哪些数被保留，于是我们发现，原序列的极大值点会被保留，于是一次操作被保留的数最多的情况就是如下的波浪形：

然后我们就发现正着想很难构造了，于是我们就倒着想：

最后一次删完了的序列是这样：$$[n]$$

我们考虑倒数第二次删完之后序列长成什么样，我们有个直觉就是越大的数越在后面被删除，于是我们考虑此时剩下的数是\(n-1\)，也就是说序列此时是这样：$$[n-1,n]$$

那么对于倒数第三次，为了让上面两个数都不删除，我们必须要在中间插入\(n-2\)，即$$[n-1,n-2,n]$$

这也就是正着想的时候，我们想要构造波浪形

同理第四次即$$[n-1,n-3,n-2,n-4,n]$$

在这样一直插入下去；如果说插入了\(1\)但是\(k\)次操作还没有用完，那么就是无解，否则的话，当\(k\)次操作用完的时候，我们将剩余的还没有插入的数，按照\([1,2,3,...]\)这样的顺序放在序列最前面即可

我们的构造方法与官方题解一样，但是官方题解的思路却跟我们完全不一样，但是是对我们的构造方法的严谨证明

update 2024.8.25

我们的构造思路是正难则反；官方题解的构造思路是利用已知构造未知，只不过是从\(k\)推到\(k+1\)；我重新做也想出来了一个利用已知构造未知，只不过是从\(\frac{n}{2}\)推到\(n\)：先手动构造出\(n=2\)和\(n=3\)的所有情形；假设我们现在要构造\((n,k)\)，就先找到\((\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor,k-1)\)的构造方法，然后将所有数加上\(\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor\)，再在两个数之间依次插入\(1,2,...,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)。比如说现在要构造\((5,3)\)，就先找到\((3,2)\)（有两种情况，不妨设是\([2,1,3]\)），然后所有数加上\(2\)变成\([4,3,5]\)，然后插入\(1\)变成\([4,1,3,5]\)，再插入\(2\)变成\([4,1,3,2,5]\)；不难证明上述方法的正确性。所以以后利用已知构造未知可以一步一步地构造（\(k\rightarrow k+1\)），也可以一半一半地构造（\(n\rightarrow 2n\)）