合并果子

借助这一道题目来严谨证明一下Huffman树的构造方法的正确性

对任意一颗\(k\)叉huffman树，他都可以等价于一个类似于合并果子的过程，即每次取出最多\(k\)个点进行合并，然后\(k\)个点的权值和就是新的点的权值，然后把这个新的点加入决策集合，最终操作的只剩下一个点。不难证明，huffman树所求的带权路径和就是合并过程中产生的每个点的点权和（包括最开始的点）

蓝书上的关于最后一次不足\(k\)个的论点给了我们一个启发：在huffman树中（没有添加权值为\(0\)的节点），除了倒数第二层（注意最后一层全部都是叶子）可能存在不满\(k\)叉的节点，从第一层到倒数第三层的所有节点的叉数都是满的；而倒数第二层也不会存在两个点或以上不满\(k\)叉，否则的话我们将这些点按顺序排好权值和显然不变，如下

而根据我们前面的等价，上述表述就是说明我们除了可能在第一次取的时候不取满\(k\)个点，剩下的合并的时候都是一次性从决策集合里面拿\(k\)个点出来的

我们再来考察取的过程。对于任意一种合并的方案，我们显然是每次合并决策集合中最小的若干个点是最优的（用决策包容性证明，相当于越早合并被记录的次数就越多）。那么就可以构造出来一种方案了：根据我们上面的等价过程，我们只有在第一次的时候取不满\(k\)个点，剩下的时候全部都从决策集合里面拿\(k\)个点就好了。为了程序的一致性，我们在最开始的时候加入若干个零点就可以不用判断边界条件了