[国家集训队] Crash的数字表格 / JZPTAB

题目所求即

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)} \]

这里没有出现\([gcd(x,y)=1]\)，所以我们枚举\(gcd\)的值来硬凑，原式就等于

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}[gcd(i,j)=d] \]

为了出现\([gcd(i,j)=1]\)，直接将\(i,j\)变成\(d\)的倍数，原式就等于

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{d|i}\sum_{d|j}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)=d]\\=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{k=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{t=1}^{\frac{m}{d}}ktd[gcd(k,t)=1]\\=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{k=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{t=1}^{\frac{m}{d}}kt\sum_{p|gcd(k,t)}u(p)\\=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{p=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}u(p)\sum_{p|k}\sum_{p|t}kt\\=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{p=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}u(p)\sum_{i=1}^{\frac{n}{dp}}ip\sum_{j=1}^{\frac{m}{dp}}jp\\=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{p=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}u(p)p^2(\sum_{i=1}^{\frac{n}{dp}}i)(\sum_{j=1}^{\frac{m}{dp}}j) \]

最后两项用等差数列求和公式就好了，然后分块套分块即可

update 2024.8.6

也可以利用莫比乌斯反演的第二形式

\[\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{p=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}u(p)p^2(\sum_{i=1}^{\frac{n}{dp}}i)(\sum_{j=1}^{\frac{m}{dp}}j)\\=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d\sum_{p=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}u(p)p^2 \frac{(1+\frac{m}{dp})\frac{m}{dp}}{2}\frac{(1+\frac{n}{dp})\frac{n}{dp}}{2}\\ \overset{T=dp}{=}\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{p=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}u(\frac{T}{d})\frac{T^2}{d} \frac{(1+\frac{m}{T})\frac{m}{T}}{2}\frac{(1+\frac{n}{T})\frac{n}{T}}{2}\\=\sum_{T=1}^{\min (n,m)}T\frac{(1+\frac{m}{T})\frac{m}{T}}{2}\frac{(1+\frac{n}{T})\frac{n}{T}}{2}\underset{d|T}{\sum}\frac{T}{d}u(\frac{T}{d})\\ \overset{F(T)=\underset{d|T}{\sum}\frac{T}{d}u(\frac{T}{d})}{=}\sum_{T=1}^{\min (n,m)}T\frac{(1+\frac{m}{T})\frac{m}{T}}{2}\frac{(1+\frac{n}{T})\frac{n}{T}}{2}F(T) \]

现在考虑如何快速计算\(F(T)\)，显然由数据范围可以知道我们需要用线性筛，而线性筛弄的是积性函数，所以我们要先证明\(F\)为积性函数，即若\(a,b\)互质，则\(F(ab)=F(a)F(b)\)

证：

\[F(a)F(b)=\underset{d|a}{\sum}\frac{a}{d}u(\frac{a}{d})\underset{k|b}{\sum}\frac{b}{k}u(\frac{b}{k})\\=\underset{d|a}{\sum}\underset{k|b}{\sum}\frac{ab}{dk}u(\frac{a}{d})u(\frac{b}{k})\\ \overset{\text{u是积性函数}}{=} \underset{d|a}{\sum}\underset{k|b}{\sum}\frac{ab}{dk}u(\frac{ab}{dk})\\ \overset{a,b互质}{=}F(ab) \]

然后用线性筛就好了

这道题目告诉我们只要出现了\(gcd\)就可以尝试枚举\(gcd\)的值，即使\(gcd\)出现在求式里面而不是作为条件