卡尔文球锦标赛

真实讨厌\(10000\)过\(n^2\)的题目。。。

首先这道题目要明白是怎么按照字典序排序的。由于球队都是按照球队里面最小编号的人排序的，我们就从小到大地考虑每个人在哪一支球队。对第\(i\)个人来说，他可以加入之前的一个球队（此时之前要出现过这支球队），也可以新组建一支球队（此时新组建的这个球队的编号是之前球队最大编号加一）

但是现在还是没有什么思路，于是我们像装饰围栏这道题目一样直接先尝试用试填法：假设我们当前考虑到了第\(i\)位，我们枚举第\(i\)位的数字是什么，假设是\(j\)

当\(j<a_i\)时，注意题目给的序列一定是合法的，也就是说\(a_i\)要么等于\(\overset{i-1}{\underset{k=1}{\max}}a_k+1\)，要么属于\([1,\overset{i-1}{\underset{k=1}{\max}}a_k]\)，那么我们只用考虑：剩下的\(n-i\)个人，第一个人可以填\([1,\overset{i-1}{\underset{k=1}{\max}}a_k+1]\)的所有合法的序列个数

当\(j=a_i\)时，我们接着往下面考虑就好了

按照以上想法，不难设计出状态：\(f[i][j]\)表示有\(i\)个人，第一个人可以填的数字为\([1,j]\)的总方案数。注意此时表示前面已经填了的数字为\([1,j-1]\)，所以有\(f[i][j]=(j-1)\times f[i-1][j]+f[i-1][j+1]\)，前面的乘积项表示第一个人填的数字为\([1,j-1]\)，后面的一项表示第一个人填的数字为\(j\)

这里肯定要用滚动数组优化。如果只是求出\(f\)，那么普通的滚动数组优化就好了，然而我们求数组的方向与用数组的方向却不一致。就是说，假设我们在试填中（这里滚动数组优化，肯定必须边试填边求\(f\)）让\(i\)从\(1\)开始逐渐增大到\(n\)，那么我们当前求的是\(f[i]\)，用的确实\(f[n-i]\)，这肯定就没有办法；于是我们必须要让两者方向一致，由于是DP数组在滚动，所以我们方便“用”的一方。具体见代码。注意，代码中f[j]=((ll)(j-1)*f[j]+f[j+1])%p;求的\(f[j]\)表示的是\(f[n-i+1][j]\)