何老板请客2

第一类斯特林数板子题目，推倒可以像第二类类似推倒

第一类斯特林数的一些性质：

\[\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} n \\ n \end{matrix} \right]=1 \]

\[\left[ \begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix} \right]=0 \]

\[\left[ \begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix} \right]=(n-1)! \]

\[\left[ \begin{matrix} n \\ n-1 \end{matrix} \right]=\binom{n}{2} \]

\[\left[ \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right]=\frac{1}{2}\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}}\binom{n}{i}(i-1)!(n-i-1)!\\=\frac{1}{2}\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}}\frac{n!}{i(n-i)}\\=\frac{1}{2}(n-1)!\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}}\frac{1}{i}+\frac{1}{n-i}\\=(n-1)!\overset{n-1}{\underset{i=1}{\sum}}\frac{1}{i} \]

\[\left[ \begin{matrix} n \\ n-2 \end{matrix} \right]=2\binom{n}{3}+3\binom{n}{4} \]

，其中\(2\binom{n}{3}\)表示一个组是三个元素，剩下所有组都是一个元素，\(3\binom{n}{4}\)表示两个组是两个元素，剩下所有组都是一个元素

\[\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]x^k=x(x+1)(x+2)...(x+n-1) \]

，这也就是第一类斯特林数的生成函数

证明：用数学归纳法即可，假设对于\(n-1\)来说，\(x^k\)的系数为\(\left[ \begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]\)，那么对于\(n\)来说，\(x^k\)的系数就为\(\left[ \begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]+(n-1)\left[ \begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]\)，而这就是斯特林数的递推公式

\[\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}\left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]=n! \]

证明：对上一个性质，令\(x=1\)即可