苗条的生成树

先来证明一个性质：同一个图的不同生成树的最大边权和最小边权相等

最小边权很显然相等，这个不用证

主要是最大边权

假设有两个生成树都是最小生成树，其中\(G_1\)的最大边权\(s_1\)小于\(G_2\)的最大边权\(s_2\)

在\(G_2\)中删去最大边，会形成两个连通块，假设这条最大边连接的是\(u\)和\(v\)两点，我们设在\(G_1\)中从\(u\)到\(v\)的路径是\(P\)，那么\(P\)上不可能每一条边都在\(G_2\)中，我们把所有不在\(G_2\)中的边加入\(G_2\)中，那么\(u\)和\(v\)一定被重新连通（即图又只变成了一个连通块），这就说明这些不在\(G_2\)中的边至少存在一条边（设为\(w\)）可以连通这两个连通块，而且由于我们删除的边的边权是\(s_2\)，所以我们删除\(s_2\)加入\(w\)一定会让整棵树的边权之和减少，这就与其是MST矛盾，所以结论得证

一种更简单的证明方法：考虑利用“北极网络”这道题目的思想。将\(G_2\)中所有小于\(s_2\)的边先全部选上，然后再将原图中所有小于\(s_2\)的边全部选上，则\(G_1\)是新图的子图，所以新图一定连通。在保留\(G_2\)中所有小于\(s_2\)的边的条件下，通过破圈法删边直到变成一棵树，此时的树的边权和一定比\(G_2\)小，与\(G_2\)是MST矛盾

然而

这个结论的证明见《数据结构与金融算法》的PPT

其实以上解法还要基于一个事实：最小最大边权树就是最小生成树