【Exp】数学研究（1）

• 编号：25.7.1

25.7.1.1. 有关 \(n\) 倍角公式的推导

设一函数 \(f: [-1, 1]\to [-1, 1]\)，满足 \(\forall \theta\in \R\)，有：

\[\cos n\theta=f(\cos\theta) \]

证明 \(f\) 为一个整系数多项式函数。

注意到 \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)，于是我们就可以把左面用二项式定理展开：

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos^k\theta\cdot i^{n-k}\sin^{n-k}\theta=\cos n\theta+i\sin n\theta \]

化简，比较两边的实部、虚部：

\[\begin{cases}\binom{n}{0}\cos^n\theta - \binom{n}{2}\cos^{n - 2}\theta\sin^2\theta + \binom{n}{4}\cos^{n - 4}\theta\sin^4\theta - \cdots =\cos n\theta\\ \\\binom{n}{1}\cos^{n - 1}\theta\sin\theta - \binom{n}{3}\cos^{n - 3}\theta\sin^3\theta + \binom{n}{5}\cos^{n - 5}\theta\sin^5\theta - \cdots=\sin n\theta\end{cases}\]

为了直观就裂开来写了。于是根据 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta=1\)，知 \(\cos n\theta\) 可以被表示成关于 \(\cos\theta\) 的 \(n\) 次整系数多项式。