二体运动

给定初始的径距离，切速度和径速度，我们希望找一个描述行星轨道的方程。

如下是描述椭圆的方程：$r=\frac{l}{e\cos \theta+1}$, 其中 $l$ 为椭圆的半通径, $e$ 为离心率. 将公示变形为 $\frac{1}{r}=\frac el\cos\theta+\frac 1l$. 可以看出，从万有引力定律即可推导出一个有关 $\frac 1r$相对于 $\theta$ 的导数的线性微分方程. 定义$u=\frac 1r$, 并以一撇来表示对 $\theta$求导，以字母上方一点来表示对时间求导。如下是万有引力定律公式：$a=-\frac GMu^2e_r$。因$v=r'\omega e_r+\omega re_{\theta}=-\frac u'{u^2}\omega e_r+\frac {\omega}ue_{\theta}$， 可知 $a=v'\omega=\omega(-\frac u'{u^2}\omega e_r+\frac {\omega}ue_{\theta})'=-GMu^2e_r$. 为了消除 \(\omega\), 意识到单位角动量为 \(h=\omega r^2\) 且相对于$\theta$与 $t$守恒($h$ 虽为常数但因切速度未知而为未知量). 又因 \(\omega=hu^2\), we get \(hu^2(-\frac {u'}{u^2}hu^2e_r+hue_{\theta})'=-GMu^2e_r\), \(h(-u'he_r+hue_{\theta})'=-GMe_r\), \(h(-u''he_r-u'he_{\theta}+hu'e_{\theta}-hue_r)=-GMe_r\),\(u''+u=\frac {GM}h^2\) 其中我们用到了 $(e_{\theta})'=-e_r$ and $(e_r)'=e_{\theta}.$ 此方程的通解为 $u=C\cos(\theta-\theta_0)+\frac{GM}{h^2}$, 其中 $C$ 与 $theta_0$ 为依赖于初始条件的实数. 给定初始径速度，切速度，及径距离，我们希望能够找到一组公式，利用这组公式能够方便地得到轨道的方程。因此，我们将以径距离，切速度与径速度把$C$，$h$和$\theta_0$表示出来。 对任意的初始条件, 可以调整坐标系使得初始角度 $\theta$ 为零. 因而令 $t=0$, 且只考虑 $\theta=0$ 的情况. 我们有 $\frac 1{r_0}=C\cos\theta_0+\frac{GM}{h^2}$, $C=(\frac 1{r_0}-\frac{GM}{h^2})\frac {1}{\cos\theta_0}$（I). 将通解做微分，得到 $u'=-C\sin(\theta-\theta_0)$(II), 因而 $u'(0)=-C\sin\theta_0$. 在上述讨论中 $C$被 $r_0$ 表达出来. 下面我将  用 $v^r(0)$来表达$\theta_0$。 我们 用$v^r_0$来表示$v^r(0)$. 因$r'=-\frac {u'}{u^2}$, 故$v^r=r'\omega=-\frac{u'}{u^2}\omega=-u'h$, 将公式变形后$u'=\frac{-v^r}h$，再带入$\theta=0$, $u'(0)=\frac{-v^r_0}{h}$, 由(II)式得$\frac{-v^r_0}{h}=-C\sin{-\theta_0}$,$\frac{v^r_0}{h}=-C\sin{\theta_0}$（III）,再结合（I）（III）式得$\tan(\theta_0)=\frac{v^r_0}{h}(\frac 1{r_0}-\frac{GM}{h^2})^{-1}$, $\theta_0=\arctan(\frac{v^r_0}{h}(\frac 1{r_0}-\frac{GM}{h^2})^{-1})$. 

 （注：为了将$\omega$以时间表示出来，注意到$u$的表达式有利于对$\theta$求导，故我们首先将$u$对时间求导，再展开$u$。最后再利用$\omega=hu^2$的关系式将$\omega$的表达式求出。为了简化问题，我们将$u$本身以及它的导数用$e$,$l$及$h$表示出来。又因这三者独立于$\theta$,因而令 e=0.5,l=1,h=1, 于是 $\frac {du}{dt}=hu'u^2=-0.5(1+0.5\cos\theta)^2\sin\theta$ $\frac {d^2u}{dt^2}=\frac {d}{d\theta}(\frac{du}{dt})hu^2=-\frac{0.5(1+0.5\cos\theta)^3(2\cos\theta+0.5(3\cos(2\theta)-1))}{2}$   $\frac{d^3u}{dt^3}=\frac{0.5(1+0.5\cos\theta)^4(2+3*0.5^2+20*0.5\cos\theta+15*0.5^2\cos2\theta)\sin\theta}{2}$   $\frac{d^4u}{dt^4}=\frac{0.5(1+0.5\cos\theta)^5((8-58*0.5^2)\cos\theta+0.5(-20(-5+3*0.5^2)\cos(2\theta)+3(-4+9*0.5^2+70*0.5\cos(3\theta)+35*0.5^2\cos(4\theta))))}{8}$）

我们下面从广义相对论的角度研究星体的轨道。

如下是史瓦西度规的表达式：$ds^2=(1-\frac {2m}r)dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{2m}r)}-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$，若采用标准单位制，则为：$ds^2=(1-\frac {r_s}r)c^2dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{r_s}r)}-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$,其中 $r_s=\frac{2GM}{c^2}$。为了研究一个质点在重力场作用下的运动，采用季灵矢量来寻找不变量。给定一质点的世界线，我们以固有时来对该曲线进行参数化。取曲线其上任一点，瞬时四速度用 $u$ 来表示。给定一初始位置及初始速度，质点的轨道应局限于初始位置向量及初速向量所决定的平面内。这是因为倘若质点偏向某一侧，则说明系统在初始状态下不关于此平面对称。因而有$d\theta=0$, $\frac{d\theta}{d\tau}=0$。这里只考虑$\theta=0$的情况，故$g_{\phi\phi}=0$ 我们知道，$u*u=g_{ab}u^au^b=c^2$，故$(1-\frac {r_s}r)c^2(\frac{dt}{d\tau})^2-(1-\frac{r_s}{r})^{-1}(\frac{dr}{d\tau})^2-r^2(\frac{d\phi}{d\tau})^2=c^2$（I） 因此度规的任何一项系数都不涉及$t$或$\phi$，故得到两个季灵矢量$\xi=(1,0,0,0)$, $\eta=(0,0,0,1)$。定义$e=\xi *u=c^2(1-\frac{r_s}{r})(\frac{dt}{d\tau})$, $l=\eta*u=g_{\phi\phi}\frac{d\phi}{d\tau}=-r^2(\frac{d\phi}{d\tau})$。我们知道经典力学中，单位质量机械能量的表达为$E=\frac 12({\dot r}^2+\omega^2r^2)-\frac{GM}r$。我们希望得到类似的表达式，因而（I）式中的$\frac{dt}{d\tau}$ 需要被消除掉。将$(\frac{dt}{d\tau})^2=\frac{e^2}{c^4}(1-\frac{r_s}r)^{-2}$ 带:入到（I）式中，得到:$\frac 12(\frac{e^2}{c^2}-c^2)=\frac 12(\dot r^2+r^2\omega^2)-\frac{GM}{r}-\frac{GM\omega^2r}{c^2}$。从牛顿力学的角度来看，单位质量内的机械能$E=\frac 12\dot r^2+\frac 12r^2\omega^2-\frac{GM}r$。将有效势能定义为：$V_{eff}=\frac 12r^2\omega^2-\frac{GM}r$。若行星的角动量h不变，则由$h=\omega r^2$得到：$V_{eff}=frac{h^2}{2r^2}-\frac{GM}r$。从之前的讨论可以得知，轨道的半通径为：$l=\frac{h^2}{GM}$，因而径距离$r$在$r=l$附近波动。但径距离又使得有效势能最小化，因此我们猜测到