上下极限

上下极限

limit superior and limit inferior

对于数列

上极限的定义：

\[\displaystyle\limsup_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big) \]

又或者是：

\[\displaystyle\limsup_{n\to\infty}x_n := \inf_{n\geq 0}\,\sup_{m\geq n}x_m=\inf\{\,\sup\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}. \]

下极限的定义:

\[\displaystyle\liminf_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big) \]

又或者是：

\[\displaystyle\liminf_{n\to\infty}x_n := \sup_{n\geq 0}\,\inf_{m\geq n}x_m=\sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}. \]

这些定义式数列极限和上下确界的组合，看起来似乎很难理解。，让我们来好好分析一下。

对于第一个公式中，当我们确定了一个\(n\),式子

\[sup_{m\geq n}x_m \]

代表的是数列中项数\(\ge n\)中的最大值，记为为\(max_{n}\)，那么我们想到，如果是\(\ge n+1\)中的最大值是\(max_{n+1}\)（说最大值是不严格的，例如\(1-\frac{1}{n}\),1是上确界但不是最大值，但是这里我们姑且这样子理解吧！）

那么我们是不是能够得到

\[max_n \ge max_{n+1} \]

这一点应该是容易想到的，那么\(max_n\)就是一个单调递减的数列，对这个数列再求极限就是数列\(x_n\)的上极限了。

可以说是\(n\)限制了\(m\)的发挥能力，当\(n\)较小时，\(m\)还有足够的空间施展自己的才华(取最大值)，但是随着\(n\)的步步紧逼，\(m\)的施展空间越来越小，最后在\(m\)的领导下，\(x_m\)只能被迫趋向为一个极限了（当然也能够桀骜不驯的走向无穷，虽然这种情况被称为极限不存在）。

又由于递减的性质，第二个式子：

\[\inf_{n\geq 0}\,\sup_{m\geq n}x_m \]

\(\inf_{n \ge 0}\)的含义就容易理解了。

对于集合

上限集的定义：

\[\varlimsup_{n\to\infty} A_n= \cap_{n=1}^\infty\cup_{m=n}^\infty A_m \]

下限集的定义：

\[\varliminf_{n\to\infty}A_n= \cup_{n=1}^\infty\cap_{m=n}^\infty A_m \]

我们用上面的方法理解：

\[\cup_{m=n}^\infty A_m \]

随着\(n\)的增大\(\cup_{m=n}^\infty A_m\)是减小的，而对于递减的集列，取交集就相当于取极限。