[POJ1160] Post Office [四边形不等式dp]

题面：

传送门

思路：

dp方程实际上很好想

设$dp\left[i\right]\left[j\right]$表示前$j$个镇子设立$i$个邮局的最小花费

然后状态转移：

$dp\left[i\right]\left[j\right]=min\left(dp\left[i-1\right]\left[k-1\right]+w\left(k,j\right)\right)$

其中$w$表示在这个闭区间内设立一个邮局的最小费用

推一下发现这里$w$可以$O\left(1\right)$前缀和计算，或者$O\left(n^2\right)$预处理

本来到这里这道题目其实就解决了（因为$n$只有$300$）

但是我们本着优化到底的精神，来重新审视这个方程，结果发现：

这不就是四边形不等式第二类情形吗！

然后证明一下$w$的四边形不等式，然后优化，变成$O\left(n^2\right)$

 

Code：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define inf 1e9
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
int n,m,a[310],sum[310];
int dp[310][310],s[310][310];
int w(int l,int r){
    int t=(l+r)>>1;
    return (sum[r]-sum[t])-(sum[t-1]-sum[l-1])-(r-t)*a[t]+(t-l)*a[t];
}
int main(){
    int i,j,p,k,tmp;
    n=read();m=read();
    for(i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(i=0;i<=n;i++) dp[i][i]=0,s[i][i]=i;
    for(p=1;p<=n-m;p++){
        dp[0][p]=inf;
        for(i=1;(j=i+p)<=n;i++){
            dp[i][j]=inf;
            for(k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
                if((tmp=dp[i-1][k-1]+w(k,j))<dp[i][j]){
                    dp[i][j]=tmp;s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[m][n]);
}