形式语言与自动机理论

关系

具有某种性质的一些对象可以组成一个集合。这就是说，集合描述的是事物。但世界上的事物是运动的、变化的，它们既相互区别，又相互联系。

关系这一概念被用来反映对象(集合元素)之间的联系和性质。

01 二元关系

关系的概念是建立在日常生活中存在的各种关系的基础上，用来形式化地表达这些关系。例如，一个班的同学中存在有同龄、同乡、成绩好、兴趣不同等各种关系；集合\(\{1,3,4,8\}\)和集合\(\{0,3,5,7\}\)的元素之间存在大于、大于等于、小于等关系。下面从通常意义下的大于、小于关系的描述开始，逐步给出二元关系的描述。

集合\(\{1,3,4,8\}\)和集合\(\{0,3,5,7\}\)的元素之间存在的小于关系有：

\(1<3， 1<5， 1<7， 3<5， 3<7， 4<5， 4<7\)

存在的大于关系有：

\(1>0， 3>0， 4>0， 4>3， 8>0， 8>3， 8>5， 8>7\)

现在将小于关系换一种表示方法，如\(1<3\)表示成\((1,3)\)，这样可以将集合\(\{1,3,4,8\}\)和集合\(\{0,3,5,7\}\)的元素之间存在的小于关系表示为：

\(\{(1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7)\}\)

这是一个集合，可以将其记作\(R_<\)，类似可得到\(R_>\)。

显然：

\(R_< \subseteq \{1,3,4,8\} × \{0,3,5,7\}\)

\(R_> \subseteq \{1,3,4,8\} × \{0,3,5,7\}\)

可见，集合\(\{1,3,4,8\}\)到集合\(\{0,3,5,7\}\)的不同关系实际上是\(\{1,3,4,8\} × \{0,3,5,7\}\)的不同子集。

于是有如下定义：

def-定义1-12

设\(A\)，\(B\)是两个集合，任意的\(R \subseteq A×B\)，\(R\)是\(A\)到\(B\)的二元关系(binary relation)。

\((a, b) \in R\)，表示\(a\)与\(b\)满足关系\(R\)，按照中缀形式，也可以表示为\(aRb\)。\(A\)称为定义域(domain)，\(B\)称为值域(range)。当\(A=B\)时，则称\(R\)是\(A\)上的二元关系。

note：------------------笛卡尔积------------------

def-定义1-9

设\(A\)，\(B\)是两个集合，\(A\)与\(B\)的笛卡尔积(Cartesian product)是一个集合，该集合由所有这样的有序对\((a,b)\)组成，其中，\(a\in A\)，\(b\in B\)，记作\(A×B\)。

\(A×B=\{(a,b) | a\in A 且b\in B\}\)

eg：\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{4,5,6\}\)，\(A×B=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}\)

02 幂集

def-定义1-10

设\(A\)是一个集合，\(A\)的幂集(power set)是一个集合，该集合由\(A\)的所有子集组成，记作\(2^A\)

\(2^A = \{B | B \subseteq A\}\)

\(2^A\)读作\(A\)的幂集。

eg：

\(A=\{1,2,3\}\)，则\(2^A=\{∅,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\)

语言

03 字母表

def-定义1-33

字母表(alphabet)是一个非空有穷集合，字母表中的元素称为该字母表的一个字母(letter)，也可叫做符号(symbol) 或者字符(character)。

note：字母表具有非空性和有穷性，通常用\(∑\)表示字母表。

eg：

• \(\{a, b, c, d\}\)
• \(\{a, b, c, d,...,z\}\)
• \(\{0,1\}\)
• \(\{aa, ab, bb\}\)
• \(\{a, a', b, b'\}\)
• \(\{∞, ≥, ≤\}\)

note：字母表中的字母是组成字母表上的语言中的任何句子的最基本元素，所以，字母表中的字符必须具有如下两个特点：

1. 整体性(monolith)，也叫不可分性。

eg：\(\{aa, ab, bb\}\)中的aa、ab、bb均是单个字符，aa不能拆分成两个a...

2. 可辨认性(distinguishable)，也叫可区分性。这一点要求字母表中的字符是两两不相同的，必须明确区分。

eg：\(\{a, b, a\}\)就不是字母表。

def-定义1-34

设\(∑_1\)，\(∑_2\)是两个字母表，\(∑_1\)与\(∑_2\)的乘积(product)：

\(∑_1∑_2 = \{ab | a\in ∑_1，b\in ∑_2\}\)

eg：\(\{0, 1\} \{a, b, c, d\}=\{0a, 0b, 0c, 0d, 1a, 1b, 1c, 1d\}\)

def-定义1-35

设\(∑\)是一个字母表，\(∑\)的\(n\)次幂(power)递归地定义为：

(1) \(∑^0 = \{ε\}\)。

(2) \(∑^n = ∑^{n-1}∑，n≥1\)。

其中，\(ε\)是由\(∑\)中的0个字符组成的。

04 闭包

def-定义1-36

设\(∑\)是一个字母表，\(∑\)的正闭包：

\(∑^+ = ∑\bigcup ∑^2 \bigcup ∑^3 \bigcup ∑^4 \bigcup...\)

\(∑\)的克林闭包：

\(∑^* = ∑^0\bigcup ∑^+ = ∑^0\bigcup ∑\bigcup ∑^2\bigcup ∑^3\bigcup ...\)

eg：

\(\{0, 1\}^+ = \{0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100,...\}\)

\(\{0, 1\}^* = \{ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, 100,...\}\)

通常，有

\(∑^* = \{x | x是∑中的若干个(包括0个)字符连接而成的字符串\}\)

\(∑^+ = \{x | x是∑中的至少一个字符连接而成的字符串\}\)

05 句子

def-定义1-37

设\(∑\)是一个字母表，\(∀ x \in ∑^*\)，\(x\)叫作\(∑\)上的一个句子(sentence)。两个句子称为相等的，如果它们对应位置上的字符都对应相等。

def-定义1-39

设\(∑\)是一个字母表，\(∀ x \in ∑^*\)，句子中字符出现的总个数叫作该句子的长度(length)，记作\(|x|\)。

eg：\(|abaabb|=6\)；\(|ε|=0\)

note：

(1) \(ε\)是一个句子。

(2) \(\{ε\}≠∅\)。这是因为\(\{ε\}\)不会一个空集合，它是含有一个空句子\(ε\)的集合。\(|\{ε\}|=1\)，而\(|∅|=0\)。

06 语言

def-定义1-43

设\(∑\)是一个字母表，\(L \subseteq ∑^*\)，\(L\)称为字母表\(∑\)上的一个语言(language)；\(x \in L\)，\(x\)叫作\(L\)的一个句子。

eg：\(\{00, 11\}, \{0, 1, 00, 11\}, \{0, 1\}, \{00, 11\}^*,...\)都是字母表\(\{0, 1\}\)上的不同语言。