单位根反演 - 学习笔记

单位根反演 - 学习笔记

单位根

• \(n\) 次单位根：\(x^n=1\) 在复数域上的根，有恰好 \(n\) 个。
• 第 \(k\) 个 \(n\) 次单位根记作 \(w_n^k=e^{k\times \frac {2\pi i} n}\)（由欧拉公式得）。
• 几何意义：\(n\) 个 \(n\) 次单位根把单位圆 \(n\) 等分。
• 单位根的周期性：\(w_n^k=w_n^{k+n}\)。
• 单位根的乘法：\(w_n^x\times w_n^y=w_n^{x+y}\)。
• 单位根的幂：\((w_n^x)^y=w_n^{xy}\)。

与原根

设质数模数 \(P\) 有原根 \(g\)。有结论：

• \(w_n^1=g^{(P-1)/n}\)，前提是 \(n\mid (P-1)\)。
• 其他单位根可以由 \(w_n^1\) 的幂次算出来。

单位根反演

单位根反演给出如下式子：

\[[n\mid k]=\frac 1n \sum _{i=0}^{n-1} w_n^{ik} \]

证明：

• 当 \(k\bmod n\ne 0\) 时，右边用等比数列求和公式得 \(\dfrac 1n \times \dfrac {1-w_n^{nk}}{1-w_n^k}\)，显然分母不为 \(0\)，而分子为 \(0\)，于是右式等于 \(0\)，左右相等。
• 当 \(k\bmod n=0\) 时，\(w_n^{ik}=1\)，于是右式等于 \(\frac 1n \times n=1\)，左右相等。

证毕。

扩展

考虑展开 \([m\bmod n=k]\)：

\[[m \bmod n =k] =[n \mid (m-k)]=\frac 1n \sum _{i=0}^{n-1} w_{n}^{i(m-k)} \]

求多项式同余项系数

现有多项式 \(f(x)=\sum _{i=0} ^n a_ix^i\)，求下标模 \(m\) 等于 \(k(0\le k<m)\) 的项的系数之和：

\[\begin {aligned} \sum _{i=0}^n a_i[i\bmod m=k] &=\frac 1m\sum_{i=0}^n a_i \sum _{j=0}^{m-1} w_{m}^{j(i-k)} \\ &=\frac 1m \sum_{j=0}^{m-1} w_{m}^{-jk}\sum _{i=0}^na_iw_{m}^{ij} \\ &=\frac 1m \sum _{j=0}^{m-1} w_{m}^{-jk}f(w_{m}^j) \end {aligned} \]

这样如果多项式的次数很大，但是点值可以在 \(O(T)\) 内快速计算，则可以 \(O(mT)\) 求出所有同余类的系数之和。