Kitamasa 算法总结

这个算法用于 $O(k^2 \log n)$ 计算常系数齐次线性递推的第 $n$ 项，即求以下递推式的第 $n$ 项：

\[f(n)=\begin{cases} A_n & 0\le n<k \\ \sum _{i=0}^{k-1} c_if(n-k+i) & n>k \end {cases} \]

其中 $A,c$ 都为常数。

主要思想是，类似快速幂的，拆成若干 $f(2^i)$，然后想办法把它们拼起来。

首先 $f(n)$ 一定能表示成 $\sum _{i=0}^{k-1}b_iA_i $ 的形式，$b_i$ 即初始第 $i$ 项的贡献系数。

假如我们已经求出 $f(n)=\sum _{i=0}^{k-1} a_i A_i$，$f(m)=\sum _{i=0}^{k-1} b_iA_i$，如何求出 $f(n+m)$。

由于 $f$ 的转移平移后还是成立的，所以（平移 $m$ 位）：

\[f(n+m)=\sum _{i=0}^{k-1} a_i f(m+i) \]

只需要快速算出 $f(m),f(m+1),f(m+2),\dots$ 的系数即可 $O(k^2)$ 得到 $f(n+m)$ 的系数。

考虑每次根据 $f(m)=\sum _{i=0}^{k-1}b_iA_i$ 求出 $f(m+1)$ 的系数，根据平移有：

\[f(m+1)=\sum _{i=0}^{k-1} b_if(i+1) \]

把 $f(k)$ 用递推式展开并化简最终就可以得到：

\[f(m+1)=b_{k-1}c_0A_0+\sum _{i=1}^{k-1} (b_{k-1}c_i+b_{i-1})A_i \]

于是可以每次 $O(k)$ 求出下一项 $f$。

同时上述得到 $f(n+m)$ 的算法，就可以每次调用求下一项的函数求出所有 $f(m),f(m+1),f(m+2),\dots$，最终做到 $O(k^2)$。

有了上述两种算法，我们可以做如下快速幂：

若 $n<k$，返回只有 $b_n=1$ 的系数数组，其他位置都为 $0$，复杂度 $O(k)$。
否则：
- 若 $n$ 为奇数，返回 $f(n-1)$ 的下一项，递归计算 $f(n-1)$，再调用求下一项的函数，复杂度 $O(k)$。
- 若 $n$ 为偶数，递归计算 $f(n/2)$，然后将两个 $f(n/2)$ 合并，复杂度 $O(k^2)$。

总复杂度 $O(k^2\log n)$。

例题

posted @ 2026-01-26 22:15 dengchengyu 阅读(27) 评论(0) 收藏举报

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