12 月杂题

12 月杂题

难度区分：Easy、Medium、Difficult、Impossible。

abc282_h Min + Sum (Medium)

Tag：分治。

由于刚做完 NOIP2025 T4，所以可以想到分治：

我们处理在当前分治区间内且跨过 $mid$ 的区间。可以求出左半边的后缀最小值位置与右半边的前缀最小值位置。分两类：

左边的后缀最小值 $<$ 右边的前缀最小值。
左边的后缀最小值 $\ge$ 右边的前缀最小值。

以第一类为例，当左边取一个区间时右边取到一个前缀。而对于 $b$ 的限制可以枚举左端点，右端点二分即可，复杂度 $O(n\log ^2n)$。

arc146_c Even XOR (Medium+)

Tag：增量，DP。

考虑往 $S$ 加入一个数 $x$，什么时候合法。那么对于任意一个 $S$ 的奇大小子集 $T$ 要满足 $T$ 内元素的异或和不等于 $x$。

我们要求有多少种奇大小子集的异或和，这样就能求出能插入多少种数。

实际上，奇大小子集的异或和种类数就等于奇大小子集个数，这是因为不存在任意两个奇大小子集的异或和相等，否则把它们拼起来就不满足要求。

因此可以插入的数的个数为 $2^n-2^{|S|-1}$。

可以 DP，设 $f_i$ 表示 $|S|=i$ 的合法 $S$ 个数，则：

\[f_i=\frac {f_{i-1}\times (2^n-2^{i-2})}{i} \]

那么当 $i>n+1$ 时 $f_i=0$，因此复杂度 $O(n)$。

arc085_c MUL (Medium)

Tag：暴力、缩小规模。

适当缩小规模后跑暴力。考虑对于 $\le n/3$ 的枚举每个数删或不删。

那么对于 $>n/3$ 的分为两种情况，一种是 $i,i\times 2$ 同时都还存在，另一种是只有 $i$ 存在。前者有三种取法，取 $i,i\times 2$、取 $i$、什么都不取；后者就有两种取法，取 $i$ 或不取 $i$。

暴力枚举的部分剪枝后发现只有三百万种不同的方案，于是可以通过。

abc315_g Ai + Bj + Ck = X (1 <= i, j, k <= N) (Medium)

Tag：枚举、不定方程。

枚举 $i$，转化为求 $Bj+Ck=X$ 的满足条件的解的个数。

考虑 exgcd 求出不定方程的一组解，将解偏移（$j\gets j+\frac {kB}{\gcd(B,C)}$，$k\gets k-\frac {kC}{\gcd(B,C)}$），然后可以找到 $1\le j,k\le n$ 的 $j$ 最小的解，最后将 $\min((n-j)/\frac{B}{\gcd(B,C)},(k-1)/\frac{C}{\gcd(B,C)})+1$ 累加进答案即可。

复杂度 $O(n)$。

abc317_g Rearranging (Medium)

Tag：正则二分图完美匹配。

对每一行建左部点，每个值建右部点，对于 $(i,j)$ 从左部 $i$ 连向右部 $a_{i,j}$ 即可。

我们需要求出二分图 $m$ 组完美匹配，方法就是每次找到一组完美匹配，然后把所有匹配边删掉，重复这个过程，这个过程是充要的。

abc313_g Redistribution of Piles (Medium+)

Tag：差分、类欧几里得算法。

首先不妨把 $a$ 排序，考虑差分数组，操作一相当于把第一个不为 $0$ 的位置减一，操作二相当于把 $a_1$ 加一。

所以显然会做完所有操作一后再做操作二。枚举最后一个操作一操作的位置 $i$，与 $a_i$ 减了多少，可以算出总共删了多少个数 $s$，对答案的贡献为 $s/n$ 向下取整。

对于最后的位置 $i$，每次 $a_i$ 减一会使总共删了的数的个数加 $n-i+1$。所以对于 $i$，对答案的贡献可以表示为：

\[\sum _{j=1}^{a_i} \lfloor \frac {S+j(n-i+1)} {n} \rfloor \]

可以用类欧几里得求上述式子，单次 $O(\log V)$。复杂度 $O(n\log V)$。

关于类欧，这里讲得还算清楚。

就是求如下式子：

\[f(n,a,b,c)=\sum _{i=0}^n\lfloor\frac{ai+b}{c} \rfloor \]

实现如下：

#define int __int128
int floor_sum(int n,int a,int b,int c) {
	if(a>=c||b>=c) 
        return (n*(n+1)/2%mod*(a/c)+(n+1)*(b/c)+floor_sum(n,a%c,b%c,c))%mod;
	int m=(n*a+b)/c;
	if(m==0) return 0;
	return (n*m-floor_sum(m-1,c,c-b-1,a)+mod)%mod;
}