考虑枚举 $\gcd$ 计算方案数 $f_i$。直接计算 $\gcd$ 不好做，考虑容斥计算 $g_i$ 表示 $\gcd$ 为 $i$ 的倍数时的方案数。则

\[f_i=g_i-\sum _{x>1}f_{i\times x} \]

把所有 $i$ 的倍数的点取出来，是一个森林，对每棵树做 DP：

每个点的子树维护以它开始的所有链链长和，以及链的数量。转移就用儿子与自己的信息合并。

由于每个点有 $O(\sqrt V)$ 个因数，因此复杂度是 $O(V\log V+n\sqrt V)$。

Problem - 1842G - Codeforces

考虑组合意义，相当于 $i$ 走到 $i+1$ 有 $a_i$ 种方案。考虑对 $j$ 操作 $v$，那么相当于在 $j$ 放一个道具（每个道具是不同的），使得可以在 $i\ge j$ 的一个 $i$ 使用这个道具走到 $i+1$ 而贡献 $v$ 的方案数（每个道具可以重复使用）。

由于只能最多使用 $n$ 次道具，于是设关于使用道具次数的 DP。设 $f_{i,j}$ 表示走到 $i$ 已经有 $j$ 个道具被使用过，转移有：

不使用道具：$f_{i,j}\times a_i\to f_{i+1,j}$。
使用以前使用过的道具：$f_{i,j}\times j\times v\to f_{i+1,j}$。
使用以前未使用过的道具：$f_{i,j}\times i \times (m-j)\times v\to f_{i+1,j+1}$。

最后算答案，由于算的是期望，所以要把我们用过的道具的总方案数除掉，即 $\sum \dfrac {f_{n,i}} {n^i}$。

abc231_g G - Balls in Boxes

类似上一道题。现在放的这个道具只能被使用一次，且贡献为 $1$。有转移：

不使用，乘以 $a_i$。
使用一个道具：$f_{i,j}\times (K-j)\to f_{i+1,j+1}$。

最后算答案是一样的。

P2455 [SDOI2006] 线性方程组 - 洛谷

重写一下高斯消元。更换了写法，不用先求出上三角矩阵再消，而是每次就把其他所有行都消掉。

需要判无解和无穷解的情况，共同点是都存在找不到主元的情况，不同点是无解时存在系数全 $0$ 的行常数不为 $0$。

找不到主元可以不管它，先找下一列。可以每次找到一个主元就把计数器加一，把主元交换到计数器的位置，这样做的目的是确保只有计数器之前的行是被固定了的。

abc249_g G - Xor Cards

老规矩先枚举 LCP，然后要选出若干使得 $\dfrac {a_i}{2^x}$ 的异或和等于 $\dfrac {K}{2^{x}}$ 且最大化 $b_i$ 的异或和。

考虑线性基，我们都会 check 一个数能否被异或表示，以及求异或最大值。但其实可以结合一下，我们可以贪心从高位到低位填入最大值的 $01$，然后 check 这个前缀能否被表示。

用到这道题上，我们可以把 $a_i,b_i$ 变成一个二进制数，$\dfrac {a_i}{2^x}\times 2^{30}+b_i$。然后从高位到低位填入 $res$ 的第 $2^i$ 位，每次 check $\dfrac {K}{2^x} \times 2^{30}+res$ 的 $i$ 位之前能否被表示。可以做到 $O(n\log^3 V)$。

还要特判 $-1$ 的情况，可以查 $a_i$ 的异或最小值是否小于等于 $K$。

P10780 BZOJ3028 食物 - 洛谷

可以把要求偶数个的与要求 $0$ 或 $1$ 个的组合成一个任意个的。特别地把蜜桃多取出来一个变成偶数个。这样能组成四个任意个的。

要计算 $a+b+c+d=n-1$ 的非负整数解数量，插板即可，答案为 $\dbinom {n+2}{3}=\dfrac {n(n+1)(n+2)}6$

P4528 [CTSC2008] 图腾 - 洛谷

容斥：

1324-1243-1432
=(13xx-1342)-(12xx+1234)-(1xx2+1342)
=13xx-12xx+1234-1xx2
=13xx+1234-1xxx+1x2x

先维护 $ld_i,lu_i,rd_i,ru_i$ 表示左右小于或大于它的个数。分别考虑每种情况：

13xx：

枚举 3，那么后面先选一个 4 乘上 $ru_i$，然后计数 132（固定 3）。

可以计数 12 的总数减去 312 和 123。记 sum 表示小于 3 的数组成的顺序对数量，则：
```
132
=sum-123-312
=sum-123-(3xx-321)
=sum-3xx-123+321
```
求 123 相当于计数 $\sum _{j<i\land a_j<a_i} ld_j$。计数 321 是同理的。
1x2x：

枚举 2，那么第四个位置只要求比 2 大，乘上 $ru_i$。然后计数 132（固定 2）。
```
132
=xx2-312
=xx2-(x1x-213)
=xx2-x1x+213
=xx2-x1x+xx3-123
=xxx-xx1-x1x-123
```
x1x 即 $\sum _{j<i\land a_j<a_i} lu_j $。
1234。枚举 3，前面是 123 后面是 $ru_i$。
1xxx 容易。

P4707 重返现世

考虑 min-max 容斥。第 $k$ 大 min-max 容斥公式为（期望下也成立）：

\[E(\text{kthmax}(S))=\sum _{\varnothing \ne T\subseteq S} (-1)^{|T|-k}\binom {|T|-1}{k-1}E(\min(T)) \]

我们记一个物品的权值为第一次被选的时间，那么我们要求第 $k$ 小时间。转化为求第 $n-k+1$ 大时间，可以用上面的式子。考虑一个集合的最小时间，每一轮获得 $T$ 中物品的概率为 $\frac 1m\sum _{i\in T} p_i$，所以 $E(\min(T))=\dfrac {m} {\sum _{i\in T} p_i}$。

考虑 DP，我们求答案只跟 $|T|$ 与元素和有关，所以设 $f_{i,j,s}$ 表示选了 $j$ 个，元素和为 $s$ 的方案数。转移为：选 $f_{i,j+1,s+p_i}\gets f_{i-1,j,s}$ 或不选 $f_{i,j,s}\gets f_{i-1,j,s}$。可以做到 $O(n^2m)$。

优化，考虑把容斥贡献塞到 DP 值中，设 $f_{i,s}$ 表示元素和为 $s$ 时，所有方案的 $ (-1)^{|T|-k}\binom {|T|-1}{k-1}$ 和。不选是容易的，如果选，这里转移很难。

考虑原来的集合 $T$ 加入一个元素，贡献变为：

\[\sum _T (-1)^{|T|-k}\binom {|T|-1}{k-1}\to \sum _{T} (-1)^{|T|+1-k}\binom{|T|} {k-1} \]

我们没有记录 $|T|$ 很难处理。考虑拆组合数：

\[\begin{aligned} \sum _{T} (-1)^{|T|+1-k}\binom{|T|} {k-1} &=\sum _T (-1)^{|T|+1-k} \Big [\binom {|T|-1} {k-2} +\binom {|T|-1}{k-1}\Big] \\ &=\sum _T (-1)^{|T|+1-k} \binom {|T|-1} {k-2} -(-1)^{|T|-k}\binom {|T|-1}{k-1} \end {aligned} \]

前后的式子只有 $k$ 的区别，所以我们多记一维 $k$。设 $f_{i,s,k}$。

转移有：

$f_{i,s,k}\gets f_{i-1,s,k}$。
$f_{i,s+p_i,k}\gets f_{i-1,s,k-1}-f_{i-1,s,k}$。

复杂度 $O(nm(n-k))$。

abc261_g G - Replace

考虑两个串匹配的 DP：设 $dp_{i,j}$ 表示 $S$ 串的前 $i$ 个已经匹配了 $T$ 串的前 $j$ 个。

转移需要求 $f_{l,r,c}$ 表示把 $T$ 串区间 $[l,r]$ 变成字符 $c$ 的最小代价。

若 $|A_i|=1$ 则可以 $f_{l,r,c}\gets f_{l,r,A_{i}[1]}+1$，这可以求最短路。

现在考虑 $c$ 字符由一个串转移过来，设 $g_{l,r,k,len}$ 表示 $[l,r]$ 转化为了 $A_k[1\dots len]$ 的最小代价，转移为

\[g_{l,r,k,len}\gets g_{l,cut,k,len-1}+f_{cut+1,r,A_k[len]} \]

\[f_{l,r,c_k}\gets g_{l,r,k,len(A_k)}+1 \]

\[g_{l,r,k,1}\gets f_{l,r,A_k[1]} \]

容易以区间长度为顺序转移，每次还要对 $f_{l,r,*}$ 求最短路。复杂度 $O(n^5)$。

posted @ 2025-10-31 16:34 dengchengyu 阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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10-29 题