2025.01.07 杂题记录

2025.01.07 杂题记录

今天是好题选讲，顺便做了一些别的题目。

P3380 【模板】树套树

好，我终于搞明白树套树是怎么回事了，以前一直没做大概是因为平衡树好不太熟悉。

题目大意就是把普通平衡树的各种操作放在序列上，加上区间的限制。

树套树最普遍的做法就是线段树套平衡树。

考虑对线段树上的每一个节点都开一个平衡树，讲到这大概就会做了。

做法1：线段树以位置为索引，在平衡树中存放值。这样的做法，对于查询第 k 大则需要二分答案，时间复杂度是 \(O(n\log^3 n)\)，空间复杂度是 \(O(n\log n)\)，可能会被卡。

做法2：这是题解区的又一个线段树套平衡树的做法，我实现了这种做法。考虑离散化后，在线段树上以值为索引，往平衡树中存放位置，这样查询排名第 k 大就可以在线段树上二分。时间复杂度优化成了 \(O(n\log^2 n)\)，空间复杂度 \(O(n\log n)\)。应该是最优的解法。

有了树套树后，我们就能在线地做带修改的二维数点，不过如果能离线做那么还是写分治吧。

P9036 「KDOI-04」挑战 NPC Ⅲ

好题选讲里的一道题，我也觉得非常好（又水一道紫）。

题目大意是求 \(n\) 个点的无向图中，大小为 \(n-k\) 的点独立集数量，\(k\le 18\)。

首先转化成求大小为 \(k\) 的点覆盖边的数量。

考虑到 \(deg>k\) 的点都必须选，不然这些邻边就需要大于 \(k\) 个点来覆盖它们。

对于剩下的未覆盖的边，每次选一个点最多覆盖 \(k\) 条边，所以当剩余边数大于 \(k^2\) 时一定无解。

因为边不多，且选的点很少，考虑爆搜，我们枚举每一条未被覆盖的边，然后选择其中的一些端点，使它可以被覆盖，过程中要使得确定为选的点数量小于等于 \(k\)。

设 \(c\) 为最后确定选的点数，\(s\) 为确定的点数（包括确定为选的和确定为不选的），则最后我们加上组合数 \(\binom {n-s} {k-c}\)。

时间消耗大致是 \(O(2^kk^2)\)，可以去看题解中的证明。

CF848C Goodbye Souvenir

我们记 \(pre_i\) 表示上一个与 \(i\) 相同的位置，\(nxt_i\) 表示下一个与 \(i\) 相同的位置。

那么一个数第一次出现当且仅当 \(l\le i\le r\land pre_i< l\)。最后一次出现当且仅当 \(l\le i\le r\land nxt_i>r\)。

考虑到一次修改只会有 \(O(1)\) 个 \(pre,nxt\) 被改变，我们用 set 可以轻易维护出每次修改后 \(pre,nxt\) 的变化。

我们再把上面的条件加上时间一维，加上贡献的正负，之后跑 cdq分治 即可。时间复杂度 \(O(n\log ^2n)\)。