树剖总结

前言

最近被树剖整得很难受，于是有了这一篇总结。

灵感来源于这几道题：[Ynoi2017] 由乃的 OJ，[SDOI2011] 染色，[TJOI2015] 旅游。

关于树剖

树剖解决的问题一般是动态且与树上的简单路径有关，就是将树上的问题转变到链上，然后用数据结构（线段树）来维护一些复杂信息。

一般解决树剖会遇到的瓶颈：

1. 如何处理链上的情况。

2. 查询时如何合并剖分开的链。

下文主要记录处理第二个瓶颈的套路。

合并链

这 \(3\) 道题都有一个特点：合并链较难处理，有许多细节。

三个题有异曲同工之处，最后要将起点 \(u\) 跳过的链的答案 \(l\)，和跳完的 \(u'\) 和 \(v'\) 中间的答案 \(mid\)，以及终点跳过链的答案 \(r\) 进行合并。

写法一

这三道题最后 \(u'\) 和 \(v'\) 的形态会影响最后的答案，然而 \(u'\) 和 \(v'\) 的形态无非就两种：一种 \(u'\) 在上，一种 \(v'\) 在上。但是有些时候要判一下 \(l\) 和 \(r\) 是否记录过链的答案，否则会对答案产生影响。

以[Ynoi2017] 由乃的 OJ为例，就有：

if(!flagl&&!flagr) memcpy(all,(dep[u]<=dep[v])?now.lans:now.rans,sizeof(all));
	else if(id[u]<=id[v]) memcpy(all,(l*(now+r)).lans,sizeof(all));
	else memcpy(all,((now+l)*r).lans,sizeof(all));

像旅游和染色就要更复杂一些，因为要判 \(l\) 和 \(r\) 是否记录过链的答案。

写法二

先求出两点的最近公共祖先，然后将 \(u\) 和 \(v\) 分别向 \(lca_{u,v}\) 跳，求出左右的答案，这样不用判断形态，直接合并即可。代码会比第一种写法简单很多，但是常数比第一个略大。

小 trick 就是合并时重载运算符，结构体写初始化来简便代码。