dp做题记录

树形 dp

• P3177 [HAOI2015] 树上染色

  初看此题时，dp 状态很明显是两维，但是合并子树时答案难于统计，然后……就不会了qwq。

  既然不通，考虑改变 dp 数组的含义，记 \(dp_{i,j}\) 表示当前 \(i\) 的子树中将 \(j\) 个点染黑对总答案的贡献。

  但是这样直接计算两点距离就变得更难了，考虑两点的路径统计，将统计相同颜色点两两之间的距离转化为统计每个边被计数的次数。于是我们每次进行转移时只需要考虑 \(i\) 到它的儿子 \(j\) 的边 \(e_{i,j}\) 对总答案的贡献，于是有 dp 方程：

  \[dp_{u,j}=dp_{u,j-k}+dp_{v,k}+e_{u,v}k(m-k)+e_{u,v}(siz_v-k)(n-m-siz_v+k) \]

  其中 \(n\) 为点的个数，\(m\) 为总的可以允许染成黑色点的个数，\(e_{u,v}\) 表示 \(u\) 到 \(v\) 边的权值，\(siz_u\) 表示以 \(u\) 为根的子树的大小，\(j\) 和 \(k\) 均为枚举的染黑点的个数。

  但是这样转移很明显是 \(O(nm^2)\) 的，于是我们在枚举每一个 \(m\) 时，给予 \(m\) 一个上下界限制，最大可能地去优化时间复杂度，于是有了 \(m\) 的限制：\(m\in[\max(0,j-siz_u+isz_v),\min(j,siz_v)]\)。

  可以证明，这样的时间复杂度是接近 \(O(nm)\) 的。

  代码。

• P7310 [COCI2018-2019#2] Deblo

  注意到位运算每一位都是独立的，考虑将权值的每一位拆开，单独考虑每一位对答案的贡献。

  先枚举每一位，这样原树就变成了一颗只有 \(0\) 和 \(1\) 的树。很明显只有当路径上的 \(1\) 的个数为奇数时，这条路径才会对答案产生贡献。

  记 \(dp_{u,0}\) 表示路径的一个端点为 \(u\)，另一个端点在 \(u\) 的子树，路径上的 \(1\) 的个数为偶数时，这样的路径的条数。同理 \(dp_{u,1}\) 为 \(1\) 的个数为奇数。

  转移时进行分类讨论：

  • 若当前的节点 \(u\) 第 \(w\) 位是 \(1\)，那么对于其每一个子节点 \(v\)，有 \(dp_{u,0}+=dp_{v,1},dp_{u,1}+=dp_{v,0}\)。
  • 若当前的节点 \(u\) 第 \(w\) 位是 \(0\)，那么对于其每一个子节点 \(v\)，有 \(dp_{u,0}+=dp_{v,0},dp_{u,1}+=dp_{v,1}\)。

  考虑如何计算答案，显然对于一条路径只有两种情况：

  • \(lca_{a,b}\) 不为 \(a\) 或者 \(b\)，有 \(ans+=dp_{u,1}\times dp_{v,0}+dp_{u,0}\times dp_{v,1}\)，其中 \(v\) 是 \(u\) 的子节点。
  • \(lca_{a,b}\) 为 \(a\) 或者 \(b\) 其中一个，有 \(ans+=dp_{u,1}\)。

  时间复杂度 \(O(n\log V)\)，其中 \(V\) 为值域。