【Notes_3】现代图形学入门——基础变换、MVP变换模型

跟着闫令琪老师的课程学习，总结自己学习到的知识点

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目录

• 基础变换(二维)
  • 齐次坐标下的基础变换
    • 组合变换(Compositon Transform)
• 四元数与旋转公式
  • 四元数
  • 罗德里格斯旋转公式
• MVP变换
  • Model Transformation
  • View/Camera Transformation
  • Projection Transformation
    • Orthographic Projection
    • Perspective Projection

基础变换(二维)

三维变化与二维变换矩阵类似

齐次坐标下的基础变换

Scale:

\[S(s_x,s_y) =\begin{pmatrix} s_x &0 &0\\ 0 & s_y & 0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\]

Rotation:

\[R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha& - \sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos \alpha &0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\]

Translation:

\[T(t_x,t_y)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 &1& t_y\\ 0 &0& 1 \end{pmatrix}\]

组合变换(Compositon Transform)

矩阵变换把先变化的矩阵放到右边：矩阵运算是从右向左

四元数与旋转公式

四元数

四元数

罗德里格斯旋转公式

Rodrigue's Rotation Formula: Raotation by angle \(\alpha\) around axis \(\vec{n}\)

\[R(\vec{n},\alpha)=cos(\alpha)I+(1-cos(\alpha))nn^{T}+\sin(\alpha) \begin{matrix} \underbrace{ \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{pmatrix} } \\ N\end{matrix}\]

In the formula
I ：Identity matrix
最后乘积的结果是一个3*3的矩阵

MVP变换

Model Transformation

引用博客：MVP变换

对模型进行模型变换时，需要注意坐标系是在世界坐标系原点。当绕模型中心进行变换时，首先要将模型的中心点移动到世界坐标系的原点，之后在进行模型变换，之后移回到原来的位置。
矩阵描述为：$$M=M_t^{-1} M_r M_s M_t$$

View/Camera Transformation

这个过程是将确定相机的位置：将相机的位置通过下面的过程移动到固定的点和方向。
(1) 相机的位置固定在世界坐标系的原点： \(\vec{e}\)
(2) 相机的朝向 \(-\vec{Z}\)： \(\hat{g}\)
(3) 相机的向上方向\(\vec Y\)： \(\hat t\)

基于上述过程，要求视图变换矩阵\(M_{view}\)分别求相机的平移矩阵\(T_{view}\)、旋转矩阵\(R_{view}\)

\[T_{view} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{\vec{e}} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{\vec{e}} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{\vec{e}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

求旋转矩阵时，直接求相机旋转到原点的矩阵不容易求解，但求原点到相机位置的旋转矩阵容易求。
所以先求原点到相机的旋转矩阵：Z To \(-\hat{g}\)、Y To \(\hat{t}\)、最后保证\(\vec{X}\) To \((\hat g \times \hat t)\) 朝向的方向，原因是保证符合右手坐标系。

\[R_{view}^{-1}=\begin{bmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}}&x_{t}&x_{-g}&0\\ y_{\hat{g} \times \hat{t}}&x_{t}&y_{-g}&0\\ z_{\hat{g} \times \hat{t}}&x_{t}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\]

因为\(R_{view}^{-1}\)是正交矩阵，所以逆矩阵和旋转矩阵相同。

\[R_{view} =\begin{bmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}}&y_{\hat{g} \times \hat{t}}&z_{\hat{g} \times \hat{t}}&0\\ x_{t}&y_{t}&z_{t}&0\\ x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}\]

所以

\[M_{view} = R_{view} T_{view}= \begin{bmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}}&y_{\hat{g} \times \hat{t}}&z_{\hat{g} \times \hat{t}}&0\\ x_{t}&y_{t}&z_{t}&0\\ x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{\vec{e}} \\ 0 & 1 & 0 & -y_{\vec{e}} \\ 0 & 0 & 1 & -z_{\vec{e}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Projection Transformation

个人理解投影变换的终极目的是让物体挤压在一个单位大小的平面(空间)内。原因先挖个坑。

Orthographic Projection

简单理解就是将物体的忽略z坐标，将模型通过Scale To [-1,-1]^2平面内。
真正的操作：
(1) 移动模型的位置到原点
(2) 缩放模型到空间[-1,1]^3中

Perspective Projection

正视投影的光线可以看成是一个立方体，如上图。透视投影的光线可以看成一个视锥，如下图。
透视变换可以分为两个步骤进行：
(1) 将视锥挤压到立方体内\(M_{persp->ortho}\)
(2) 将挤压后的视锥进行正视投影变换$M_{ortho}

挤压时的变换矩阵\(M_{persp->ortho}=\begin{bmatrix} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0 & 0&1&0 \end{bmatrix}\)
所以投影变换矩阵

\[M_{proj}=M_{ortho}M_{persp->ortho} \]