【OpenGL_02】欧拉角、万向锁、四元数

在LearnOpenGL网站学习，记录一下学习笔记

欧拉角
万向锁
四元数
- 四元数的矩阵乘法及其可易性
  - 蜕变矩阵
  - 四元数的矩阵乘法

欧拉角

引用博客欧拉角与旋转矩阵的转换关系

欧拉角就是我们日常生活中常用的表示旋转的三维向量的乘积。
在Unity中，用zxy的顺序来表示旋转，即选旋转z轴、x轴、y轴的方式来表示旋转。在给出逆时针旋转的角度为正时（与右手系旋转方向相同的为旋转正方向），绕不同轴的旋转的矩阵表示：

按照不同轴进行旋转的时候，乘以相应的矩阵即可。
例如：依次按照x-y-z轴的顺序进行分别旋转特定的角度 $\psi$、$\phi$、$\theta$ 。旋转矩阵为：

万向锁

在欧拉角的旋转计算过程中，会发生两个坐标系重合，然后欧拉角描述的旋转会丧失旋转维度的现象
如图所示：

四元数

引用博客四元数——基本概念
引用博客如何形象地理解四元数？
参考视频奇妙的四元数与空间旋转

我们将二维空间表示为(x,y)，当y=0时，其实可以看成是一维的，只不过它表示成(x,0)这种形式。推到四维，(w,x,y,z)，当w=0时，(0,x,y,z)就是一个三维子空间，这也是为什么我们可以用单位四元数对三维向量进行操作，其实我们是将三维向量映射到四维的三维子空间（w=0，这种形式也成纯四元数），然后对其进行旋转，最终得到的向量结果依然是这个三维子空间中的，因而可以映射回三维空间。
四元数的表达式为：

\[q=w+xi+yj+zk \]

其中，$$i^2=j2=k^2=ijk=-1$$
所以，四元数原本是用来描述在四维空间中的点的位置，可以用来描述四维空间中的旋转，也可以用来描述子空间(三维空间)的旋转。
所以可以用纯四元数来描述三维空间中的点。表达式为：

\[qw = (0,wx,wy,wz) \]

如果你想算一个点在这个旋转下新的坐标,需要进行如下操作，
1.定义纯四元数

2.进行四元数运算

3.产生的$qw^{'}$一定是纯四元数，也就是说它的第一项为0，有如下形式：

4.$qw^{'}$中的后三项就是：、

这样，就完成了一次四元数旋转运算。
同理，如果你有一个四元数：

那么，它对应一个以向量$v=(vx,vy,vz)$为轴,旋转角度$\theta$的旋转操作（右手法则的旋转）。
里面用的是$\frac{\theta}{2}$而不是$\theta$。这是因为$q$做的就是一个$\frac{\theta}{2}$的旋转，而$q^{'}$也做了一个$\frac{\theta}{2}$的旋转。我们进行了两次旋转，而不是一次，这两次旋转的结果是一个旋转角为$\theta$的旋转。

示意图：