矩阵的广义逆

　　定义：

　　设A是定义在复数域中的一个m * n阶矩阵，满足以下条件的n * m矩阵G被称为A的一个{1}-广义逆：对于任意一个m*1矩阵B，只要方程组AX = B有解，则X=GB一定是其中的一个解。

      相关定理：

      当且仅当G满足AGA = A时，G才为A的一个{1}-广义逆，记为A^-。

　　需要注意的是，对于矩阵A，A^-总是存在的，但并不是唯一的。其中满足以下的条件的广义逆矩阵A^- 称为A的M-P广义逆矩阵，记为A⁺：

　　(1)   GAG = G;

　　(2)   (GA)^H = GA;

　　(3)   (AG)^H = AG;

　　对于矩阵A，M-P广义逆矩阵A⁺总是存在且是唯一的。我们平常所说的广义逆或者伪逆便是M-P广义逆矩阵A⁺。

　　(说明：上标H表示共轭转置)

 

　　求解A⁺

　　(1)   对A进行奇异值分解，得

　　A = PDQ^H

　　其中，P、Q为酉矩阵，而

 　　

　　（说明：1、当复数矩阵U满足U^HU = UU^H = E时，U称为酉矩阵；2、diag表示对角矩阵）

　　(2)   M-P广义逆矩阵A⁺=Q D ^-1P^H