图论篇1——图的基本概念

图的基本性质

顶点(vertex)

上图中黑色的带数字的点就是顶点,表示某个事物或对象。由于图的术语没有标准化,因此,称顶点为点、节点、结点、端点等都是可以的。叫什么无所谓,理解是什么才是关键。

边(edge)

上图中顶点之间蓝色的线条就是边,表示事物与事物之间的关系。需要注意的是边表示的是顶点之间的逻辑关系,粗细长短都无所谓的。包括上面的顶点也一样,表示逻辑事物或对象,画的时候大小形状都无所谓。

有向/无向图(Directed Graph/ Undirected Graph)

有向图和无向图,两者的区别在于,有向图中的边是有方向性的。(可以把无向图视为“双向”的有向图,构造无向图用的就是这种方法)

一般到底是有向图还是无向图要根据实际情况判断,比如在A、B两点之间的一条路,那一定是个无向图。

权重(weight)

边的权重(或者称为权值、开销、长度等),即每条边都有与之对应的值。例如当顶点代表某些地点时,两个顶点间边的权重可以为两点的距离。

连通图/连通分量(connected graph/connected component)

如果在图G中,任意2个顶点之间都存在路径,那么称G为连通图(注意是任意2顶点)。如果把下图看为两个图,就是两个连通图。

连通分量也叫最(极)大连通子图,把上图看为一个整体,它不是一个连通图,但它有多个连通子图,0,1,2,3,4顶点构成的子图就是该图的最大连通子图。

注意:对于连通图来说,它的最大连通子图就是其本身。

图的表示

邻接矩阵

用二维数组直接存储。

邻接矩阵非常好写,只需要开一个二维数组,但顶点数目太大会超内存(一般不大于1000),用到的情况比较少。

邻接表

存储示意图:

可理解看做是多条单链表,结构体定义如下:

struct ENode {
    int dis, to;//权重、指向
    ENode* next = NULL;
    void push(int to, int dis) {
        ENode* p = new ENode;
        p->to = to; p->dis = dis;
        p->next = next;
        next = p;
    }
}head[100];

完整测试:

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;
typedef long long LL;

struct ENode {
    int dis, to;//权重、指向
    ENode* next = NULL;
    void push(int to, int dis) {
        ENode* p = new ENode;
        p->to = to; p->dis = dis;
        p->next = next;
        next = p;
    }
}*head;

int main() {
#ifdef LOCAL
    fstream cin("data.in");
#endif // LOCAL
    /*
    5 8
    1 3 4
    2 4 3
    4 5 6
    1 5 7
    3 5 4
    3 4 3
    2 5 6
    4 1 7
    */
    int n, m; //n个定点,m条边
    cin >> n >> m;
    head = new ENode[n + 1];
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int from, to, dis;
        cin >> from >> to >> dis;
        head[from].push(to, dis);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << i;
        ENode* p = head[i].next;
        while (p) {
            if (p)cout << "-->";
            cout << p->to;
            p = p->next;
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

其他一些术语

关节点

也叫重连通分量,在连通图 G 中,如果删除顶点 u 及从 u 出发的所有边后所得的子图不连通,我们就称顶点 u 为图 G 的关节点或连接点。 

生成树

(Tree):如果一个无向连通图中不存在回路,则这种图称为树。

生成树 (Spanning Tree):无向连通图G的一个子图如果是一颗包含G的所有顶点的树,则该子图称为G的生成树。

生成树是连通图的极小连通子图。这里所谓极小是指:若在树中任意增加一条边,则将出现一条回路;若去掉一条边,将会使之变成非连通图。

 

posted @ 2019-10-24 23:12  qmyc1999  阅读(...)  评论(...编辑  收藏